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常微分方程模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。2、一阶微分方程的通解为 （C为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 ，与直线y=2x+3相切的解是 ，满足条件的解为 。3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。4、对方程作变换 ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 。5、方程过点共有 无数 个解。6、方程的通解为 ，满足初始条件的特解为 。7、方程 无 奇解。8、微分方程可化为一阶线性微分方程组 。9、方程的奇解是 y=0 。10、是 3 阶常微分方程。11、方程满足解得存在唯一性定理条件的区域是 。12、微分方程通解为 ，该方程可化为一阶线性微分方程组 。13、二阶线性齐次微分方程的两个解成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。14、设，则线性微分方程组有基解矩阵 。二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为 令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 原方程通解为2、答案：特征方程为 即。特征根为 ，对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 原方程组的通解为 。 3、答案：齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+ 4、；答案：是一个变量分离方程 变量分离得 两边同时积分得（其中c为任意常数）5、答案： 积分： 故通解为：6、答案：两边同除以得，即，故原方程的解为7、 .答案：方程组的特征方程为 即，即 特征根为， 对应特征向量应满足，可得 同样可算出时，对应特征向量为 原方程组的通解为8、答案：线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为9、答案：，令z=x+y，则所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即10、 答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。 其特征方程为 特征根为， 方程的通解为11、答案： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx-3dy=0所以三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果满足初始条件的解，那么 。证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量） 则由初始条件得=又= 所以C=代入（1）得= 即命题得证。2、（12分）设在区间上连续试证明方程的所有解的存在区间必为。证明 ：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然是方程的两个常数解。任取初值，其中,。记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾；故该解的存在区间必为。3、（12分）设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾故 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。定理：设.（1）在上连续，（2）在上关于满足利普希茨条件：，总有.则初值问题存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初值条件，这里.唯一性：设是积分方程在区间上的解，则.证明：，首先估计.， 设成立，则 这就证明了对任意的，总成立估计式：.因此，一致收敛于，由极限的唯一性，必有.5、（10分）求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、（12分）求方程组满足初始条件的解.解：方程组的特征方程为，所以特征根为（二重），对应齐次方程组的基解矩阵，满足初始条件的特解7、（10分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如 其中，是常数向量。证明：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以， （1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解8、（12分）试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中.解：，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得，.取，同理可得对应的特征向量为，则，均为方程组的解，令，又， 即为所求基解矩阵.9、（12分）试证明：对任意及满足条件的，方程 的满足条件的解在上存在证明： ，在全平面上连续 原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然是方程的两个特解现任取，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为10、（10分）求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点的连线相互垂直.解：设曲线方程为，切点为，切点到点的连线的斜率为，则由题意可得如下初值问题：分离变量，积分并整理后可得，代入初始条件可得，因此得所求曲线为.11、（12分） 在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为证明：由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为12、（10分）设是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数.证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件.显然是方程的两个常数解.任取初值，其中，记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与唯一性矛盾，故该解的存在区间必为.13、（12分）试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有=0.故命题成立。11
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