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1 绪论 (1). 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 _4_位有效数字。 20 0.4 10, a1=4, r 12 1a 10-(n-1) 0.1% ，故可取 n4, 即 4 位有效数字。 (2). 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 _4_位有效数字 ,此时的绝对 误差限 为 31 102 (3). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值 ,其绝 对误差限的估计式为 : | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2| (4). 计计 算算 f=( 2 -1)6 , 取 2 1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答： _C_. (A) 6121 )( , (B) (3-2 2 )2, (C) 3223 1 )( , (D) 99-70 2 (5). 要使 17 的 近近 似似 值值 的相对误差限 0.1%, 应至少取 _位有效数字？ 17 0.4 10, a1=4, r 12 1a 10-(n-1) 0.1% 故可取 n3.097, 即 4 位有效数字。 (6). 设 x=3.214, y=3.213，欲 计计 算算 u= yx , 请给出一个精度较高的算式 u=. u= yx yx (7). 设 x=3.214, y=3.213，欲计算 u= yx , 请给出一个精度较高的算式 u= . u= yx yx (8). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值 ,其 绝对误 差限的估计式为 : | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|； 2 方程根 (9). 设设 迭迭 代代 函函 数数 (x)在在 x*邻近 有有 r（ 1） 阶阶 连连 续续 导导 数数 ， 且且 x* = (x*)， 并并 且且 有有 (k)(x*)=0 (k=1, ,r-1)，但 (r) (x*)0，则 xn+1=(xn)产生的序列 xn 的收敛阶数为 _r_ (10). 称称 序序 列列 xn是是 p 阶阶 收敛 的的 如如 果果 c xx xx pnnn * *lim 1 (11). 用牛顿法求 f(x)=0 的 n 重根，为了提高收敛速度，通常转 化为求另一函数 u(x)=0 的单根， u(x)= () ()fxfx (12). 用用 Newton法法 求求 方方 程程 f(x)=x3+10 x-20=0 的的 根根 ， 取取 初初 值值 x0= 1.5, 则则 x1= _ 解解 x1=1.5970149 (13). 用牛顿法解方程 0123 xx 的迭代格式为 _ 解 kk kkkk xx xxxx 23 12 231 (14). 迭代过程 )(1 kk xx 收敛的充分条件是 )(x 1._ (15). 用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10 x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程 0123 xx 的迭代格式为 _ kk kkkk xx xxxx 23 12 231 _ (17). 用用 Newton法法 求求 方方 程程 f(x)=x3+10 x-20=0 的的 根根 ， 取取 初初 值值 x0= 1.5, 则则 x1= _ 解解 x1=1.5970149 (18). 迭迭 代代 公公 式式 xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是是 求求 a1/2 的的 (12) 阶阶 方法 3 方程组 (19). 矩阵的 LU 分解中 L 是一个 _为单位下三角阵 ，而 U 是一个 上三角阵 _。 (20). 设线性方程组的系数矩阵为 A= 6847 1531 3148 3412 ,全主元消元法的第一次可选的主 元素为 -8，或 8_，第二次可选的主元素为 8+7/8 或 -8-7/8 _. 列主元消 元法的第一次主元素为 _ 8_；第二次主元素为 (用小数表示 ) 7.5_; (21). 在方阵 A的 LU 分解中 , 方阵 A的所有顺序主子不为零 ,是方阵 A能进行 LU 分解 的 充 分 (充分 ,必要 )条件 ； 严格行对角占优阵 能 _(能 ,不能 )进行 LU分解 ； 非奇 异矩阵 _不一定 _(一定，不一定 )能 进行 LU分解 。 (22). 设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解 唯一 (唯一 ,不唯一 ). (23). 设 20 21 012 a aA ，为使 A 可分解为 A=LLT，其中 L 是对角线元素为正的下三角 形矩阵，则 a 的取值范围是 ，取 a=1，则 L= 。 (24). 解 )3,3(a ， 3 2 3 20 0 2 3 2 1 002 4 迭代 (1). 32 11A ，则 1|A ， 2|A ， |A ； 答： 4， 3.6180340， 5； (2). 已知方程组 2121132.0 21 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 _是 _收敛 （填“是”或“不”）。 (3). 给定方程组 1 1 1 211 111 112 3 2 1 x x x记此 方程组 的 Jacobi 迭代 矩阵为 BJ=(aij)33，则 a23= -1； , 且 相应的 Jacobi 迭代序列是 _发散 _的。 (4). 设 3( ) 1f x x ， 则 ()fx关于 0,1C 的 f 1 , 2f 1 7 (5). 13 01A ，则 )1,)1(|(|1)(,4| 2,121 AIAA (6). Rn 上的两个范数 |x|p, |x|q等价指的是 _C,DR,_C_|x|q _|x|pD |x|q _； Rn 上的 两个范数 _一定 _是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。 (7). Tx )12,4,0,3( ，则 1|x 19 , 2|x 13_， |x _12 ； (8). 已知方程组 2121132.0 21 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 _收敛（ 填“收 敛”或“ 发散 ”）， (9). TX )4,3,2( 则 1|X ， 2|X ， | X 解 4|,29|,9| 21 XXX (10). 已知方程组 2121132.0 21 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 _ 收敛（填“是”或“不”）， 解 （ 3）因 132.0 21A 的 Jacobi 迭代矩阵 032.0 20B ， 8.0)( B ， 故 Jacobi 迭代是收敛的， (11). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是 _，高 斯 -塞德尔法的迭代格式是 _； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0203 5 20 )1()1( )()1( kk kk xy yx (12). 已知方程组 2121132.0 21 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 _ 收敛（填“是”或“不”）， 解 因 132.0 21A 的 Jacobi 迭代矩阵 032.0 20B ， 8.0)( B ，故 Jacobi 迭 代是收敛的， (13). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是 _，高斯 -塞 德尔法的迭代格式是 _； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0203 5 20 )1()1( )()1( kk kk xy yx (14). 210 10aA ，要使 0lim kk A ， a 应满足 _； 解 1a (15). TX )4,3,2( 则 1|X ， 2|X ， | X 。 13 01A ，则 1|A ， )(A 。 解 4|,29|,9| 21 XXX 。 )1,)1(|(|1)(,4| 2,121 AIAA (16). 设 若 10 31A ,则矩阵 A 的 1-范数 1A 4 ， cond1(A)= 16 。 (17). 如果线性方程组 Ax b 用 Jacobi 迭代法，其迭代矩阵 B 满足 1 1B 。如果用 Gauss-Seidel 迭代法解此线性方程组 Ax b ，则方法 一定 (一定 ,不一定 )收敛 (18). 设 1111 1111 1111 1111 Q ，则 2Q 2 (19). Tx )12,4,0,3( ，则 1|x ， 2|x ， |x ； 答案：（ 1） 19， 13， 12； (20). 方程组 Ax b 用超松驰法求解时， 迭代矩阵为 UD)1()LD(B 1 , 要使迭代法收敛，条件 02 是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件 )； 如果 A 是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当 在区间 (0,2) 时。 (21). 给定方程组 1 2 1112xa xa ，其 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为 0 0aa 当 a 1 时， Jacobi 迭代格式收敛；其 Gauss-Seidel 迭代格式的迭代矩阵为 20 0aa ，当 a 1 时 Gauss-Seideli 迭代格式收敛。 (22). 已知方程组 2121132.0 21 bbxx ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法 _是 _收敛（填 “是”或“不”） (23). 已知 43 21A , 则 1A _6_ ， A _7_ , A 的 谱 半 径 ()A 1(5 33)2 (24). （ 1） .设 3( ) 1f x x ， 则 ()fx关于 0,1C 的 f 1 , 1f 14 , 2f 17 。 (25). TX )4,3,2( 则 1|X ， 2|X ， | X 解 4|,29|,9| 21 XXX (26). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是 _，高斯 -塞 德尔法的迭代格式是 _； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0203 5 20 )1()1( )()1( kk kk xy yx 设线性方程组的系数矩阵为 A= 6847 1531 3148 3412 ,列主元消元法的第一次主元素为 (13) ； 第二次主元素为 (用小数表示 ) (14) ; 记 此方程组 的高斯 -塞德尔迭代矩阵为 BG=(aij)44，则 a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4; (27). 5 插值 (28). 在等式 n k kkn xfaxxxf 010 )(, 中 , 系数 ak 与函数 f(x)有 关。（限填“有” 或“无”） (29). 设 lk(x) 是 关于 互 异 节 点 x0, x1, , xn, 的 Lagrange 插值基函数，则 nk kmk xlxx0 )()( 0 m=1,2, ,n (30). 用 1n 个 不同节点 作不超过 n 次的多项 式 插值，分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插值方法所得多项式 (相等 , 不相等 )。 (31). 函数 3 32 0 , 1 0 ( ) , 0 1 ( 1 ) , 1 2 x f x x x x x x 与函数 3 3 2 1 , 1 0() 2 2 1 , 0 1x x xgx x x x 中 , 是三次样条函数的函数是 _f_ ，另一函数不是三次样条函数的理由是 _ 二阶导不连续 _ 。 a) 设 Pk(xk,yk) , k=1,2, ,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1, ,P5且次数 不 超过 4 次的插值多项式是 x2-3x+1 。 函数 3 32 0 , 1 0 ( ) , 0 1 ( 1 ) , 1 2 x f x x x x x x 与 函数 3 3 2 1 , 1 0() 2 2 1 , 0 1x x xgx x x x 中 ,是三次样条函数的函数是 ()gx ，另 一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 。 (32). 令 f(x)=ax7+ x4+3x+1, 则 f20, 21, ,27= a ； f20, 21, ,28= 0 (33). 设 )()()( )()()()( 110 110 niiiiii niii xxxxxxxx xxxxxxxxxl (i=0,1, n)，则 n k kk xlx0 )( _x_ , 这里 （ xixj,ij, n2）。 (34). 牛顿插商与导数之间的关系式为： ! )(, )( 10 nfxxxf n n (35). 设 x0, x1,x2 是区间 a, b上的互异节点， f(x)在 a, b上具有各阶导数，过该组节点的 2 次插值多项式的余项为： R2(x)= )(!3 )( 2 0 )3( k k xx f (36). 在等式 n k kkn xfaxxxf 010 )(, 中 , 系数 ak 与函数 f(x)_ 无 _关 . (37). 高次插值容易产生 _龙龙 格格 （ Runge） 现现 象象 。 (38). (39). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2, ,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1, ,P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 _ x2-3x+1_ 。 (40). 令 f(x)=x7+ x4+3x+1, 则 f20, 21, ,28 =_0_ (41). 确定 n+1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要 _4n_个 (42). 若 f (x) 充 分 光 滑， 若 2 n+1 次 多 项 式 H2n+1(x) 满 足 H2n+1(xi)= f (xi), ),2,1(),()(12 nixfxH iin ,则称 H2n+1(x)是 f (x)的 _ _ Hermite 插值 _多项式，且余项 R（ x） =f (x) H2n+1(x)= _ 22 120 )22( )()()( )!22( )()( n n xxxxxx nfxR _； (43). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2, ,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1, ,P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 _ 。 解 （ 4） y=x2-3x+1 (44). 用 1n 个作不超过 n 次的多项值插值，分别采用 Lagrange插值方法与 Newton 插 值方法所得多项式 相等 (相等 , 不相等 ) 6 拟合 (1). 采用 正正 交交 多多 项项 式式 拟拟 合合 可可 避避 免免 最最 小小 二二 乘乘 或或 最最 佳佳 平平 方方 逼逼 近近 中中 常常 见见 的的 _法方程组病态 _问问 题题 。 (2). 试确定 0,1区间上 2x3 的不超过二次的最佳一致逼近多项式 p(x), 该多项式唯一 否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一 。 (3). 设 f(x)Ca,b， f(x)的最佳一致逼近多项式是 _一定 _存在的。 (4). 在 函函 数数 的 最佳 一致逼近 问题 中 ,评 价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数 , 在函数的最佳平方逼近 问题 中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数 . 无穷范数； |f|； 2-范数 (5). 若 0(x), 1(x), n(x)是 a,b上的正交族。 n k kk xax 0 )()( 为 f(x)的最佳平方 逼近。系数 ak= ,1,0 ),( ),( nkfa kk kk (6). 在 函数 的最佳一致逼近 问题 中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数 . 在函数的最佳平方逼近 问题 中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数 . (无 穷范数； 2-范数， 1-范数 ) (7). 设 f(x)=2x4在 -1,1上的 不超过 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)= 2x2-1/4 。 (8). 采采 用用 正正 交交 多多 项项 式式 拟拟 合合 可可 避避 免免 最最 小小 二二 乘乘 或或 最最 佳佳 平平 方方 逼逼 近近 中中 常常 见见 的的 (9) 问问 题题 . (9). 在 函函 数数 的最佳一致逼近 问题 中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数 . (10). 函数的最佳平方逼近 问题 中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数 . (11). 函数 f(x)=|x| 在 -1,1的 ， 次数不超过一次 的最佳平方逼近多项式 是 12 。 7 积分 (45). Gauss 型求积公式 不是 插值型求积公式。（限填“是”或“不是”） (46). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过 n-1 次 (47). 设 )(nkC 称为柯特斯系数 则 0 ()n nk k C =_1_ (48). 为辛卜生（ Simpson）公式具有 _3_次代数精度。 (49). 2n 阶 Newton-Cotes 公式 至少 具有 2n+1 次代数精度。 (50). 设公式 n k kkn xfAI 0 )( 为插值型求积公式， 则 ),1,0( d)( nkxxlA ba kk , 且 0 n kk A =b-a (51). n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过 2n 1 次。 (52). Gauss 点与 积分 区间 _无关 _但与被积函数 _有关 。 (53). 当 常数 A= 109 ， B= 109 ， a 12 5 时，数值 积分公式 2 2 16( ) ( ) (0 ) ( )9f x d x A f a f B f a 是 Gauss 型积分公式 (54). Simpsons 数值求积公式具有 _3_ 次代数精度，用于计算 dxxxx )45.02)2( ln( 210 4 所产生的误差值为 _ 1201 _； (55). 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 )()( 的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _n_阶，至多可达到 _2n+1_阶； (56). 勒让德（ Legendre）多项式是区间 _-1,1_上，带权 _1_正交的正 交多项 (3) 用梯形公式 计算积分 23 2 xe dx 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大 ,小 ) (57). 用复化梯形公式计算积分 1 0 ()f xdx ,要把区间 0,1一般要等分 41 份才能 保 证满足误差小于 0.00005 的要求（这里 (2) ( ) 1fx ） ；如果知道 (2)( ) 0fx ，则 用复化梯形公式计算积分 1 0 ()f xdx 此实际值 大 (大，小 )。 (58). 若用 复化梯形求积公式计算积分 1 0 xI e dx 区间 0,1 应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 ；若改用复化 Simpson 公式，要达到同样精度区间 0,1 应分 12 等分，即要 计算个 25 点的函数值。 (59). Simpsons 数值求积公式具有 _3_ 次代数精度，用于计算 dxxxx )45.02)2( ln( 210 4 所产生的误差值为 _ 1201 _； (60). 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 )()( 的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _n_阶，至多可达到 _2n+1_阶； (61). 若用 复化梯形求积公式计算积分 1 0 xI e dx 区间 0,1 应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 ；若改用复化 Simpson 公式，要达到同样精度区间 0,1 应分 12 等分，即要计算个 25 点的函数值 (62). 在以 1 0( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) 0 , 1 g x f x x f x g x d x f x g x C 为内积的空间 C0,1 中 ， 与非零常数正交的最高项系数为 1 的一次多项式是 23x 。 (63). Simpsons 数值 求 积 公 式 具 有 _ 次 代 数 精 度 ， 用 于 计 算 dxxxx )45.02)2( ln( 210 4 所产生的误差值为 _； (64). 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 )()( 的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _阶，至多可达到 _阶； 8 微分方程 (25). 欧拉预报 - 校正公式 求解 初值问题 ( , ) ()y f x yya 的迭代格式 ( 步长为 h) 1ky ，此方法是 阶方法。 1ky ( , ) ( , ( , ) )2k k k k k k khy f x y f x h y h f x y ，此方法是 2 阶方法。 (26). 称微分方程的某种数值解法为 p 阶方法指的是其局部截断误差为 O(hp+1)。 (27). 求解微分方程数值解的 Euler 法的绝对稳定区间是 _(-2,0)_。 (28). 欧拉 预报 -校正公式求解初值问题 0 (0) 0y y xy ,如 取步长 h=0.1,计算 y(0.1) 的近 似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法 (29). （ 1） 当 a 12 ， b 12 时，下述形式的 RK公式为二阶公式 12 1 21 ( , ) ( , ) nn nn nn y y h K K f x y K f x a h y h b K (30). 欧拉预报 - 校正公式求解初值问题 ( , ) ()y f x yya 的迭代格式 ( 步长为 h) 1ky ( , ) ( , ( , ) )2k k k k k k khy f x y f x h y h f x y，此方法是 2 阶方 法。 (31). 用 Euler 方法解初值问题 0 (0) 1yyy 的近似解的 最终 表达式 ny 1 nh (取步长 xh n )；当 n 时， lim nn y xe 。
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