资源描述
1 / 13 本 习 题 集 是 汇 集 全 国 各 大 高 校 期 末 考 试 经 常 出 现 的 题 型 ！ ！2018 年 4 月 24 日高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 一 ）一 、 填 空 题 （ 每 小 题 3 分 ， 共 计 24 分 ）1、 z = )0()(log 22 ayxa 的 定 义 域 为 D= 。2、 二 重 积 分 1| 22 )ln(yx dxdyyx 的 符 号 为 。3、 由 曲 线 xy ln 及 直 线 1 eyx ， 1y 所 围 图 形 的 面 积 用 二 重 积 分 表 示 为 ， 其 值 为 。4、 设 曲 线 L 的 参 数 方 程 表 示 为 ),()()( xty tx 则 弧 长 元 素 ds 。5、 设 曲 面 为 922 yx 介 于 0z 及 3z 间 的 部 分 的 外 侧 ， 则 dsyx )122（ 。6、 微 分 方 程 xyxydxdy tan 的 通 解 为 。7、 方 程 04)4( yy 的 通 解 为 。8、 级 数 1 )1( 1n nn 的 和 为 。 二 、 选 择 题 （ 每 小 题 2 分 ， 共 计 16 分 ）1、 二 元 函 数 ),( yxfz 在 ),( 00 yx 处 可 微 的 充 分 条 件 是 （ ）（ A） ),( yxf 在 ),( 00 yx 处 连 续 ；（ B） ),( yxfx ， ),( yxfy 在 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内 存 在 ；（ C） yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 当 0)()( 22 yx 时 ， 是 无 穷 小 ；（ D） 0)()( ),(),(lim 22 000000 yx yyxfxyxfz yxyx 。 2、 设 ),()( xyxfyxyfu 其 中 f 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 则 2222 yuyxux 等 于 （ ）（ A） yx ； （ B） x ； (C) y ； (D)0 。 2 / 13 3、 设 ： ,0,1222 zzyx 则 三 重 积 分 zdVI 等 于 （ ）（ A） 4 20 20 10 3 cossin drrdd ； （ B） 20 0 10 2 sin drrdd ；（ C） 20 20 10 3 cossin drrdd ； （ D） 20 0 10 3 cossin drrdd 。4、 球 面 2222 4azyx 与 柱 面 axyx 222 所 围 成 的 立 体 体 积 V=（ ）（ A） 20 cos20 2244 a drrad ； （ B） 20 cos20 2244 a drrard ； （ C） 20 cos20 2248 a drrard ； （ D） 22 cos20 224 a drrard 。5、 设 有 界 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 曲 线 L 所 围 成 ， L 取 正 向 ， 函 数 ),(),( yxQyxP 在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ，则 L QdyPdx )(（ A） D dxdyxQyP )( ； （ B） D dxdyxPyQ )( ；（ C） D dxdyyQxP )( ； （ D） D dxdyyPxQ )( 。 6、 下 列 说 法 中 错 误 的 是 （ ）（ A） 方 程 02 2 yxyyx 是 三 阶 微 分 方 程 ；（ B） 方 程 xydxdyxdxdyy sin 是 一 阶 微 分 方 程 ；（ C） 方 程 0)3()2( 22232 dyyxydxxyx 是 全 微 分 方 程 ；（ D） 方 程 xyxdxdy 221 是 伯 努 利 方 程 。7、 已 知 曲 线 )(xyy 经 过 原 点 ， 且 在 原 点 处 的 切 线 与 直 线 062 yx 平 行 ， 而 )(xy 满 足 微 分 方 程052 yyy ， 则 曲 线 的 方 程 为 y （ ） （ A） xex 2sin ； （ B） )2cos2(sin xxex ；（ C） )2sin2(cos xxex ； （ D） xex 2sin 。 3 / 13 8、 设 0lim nn nu , 则 1n nu （ ）（ A） 收 敛 ； （ B） 发 散 ； （ C） 不 一 定 ； （ D） 绝 对 收 敛 。三 、 求 解 下 列 问 题 （ 共 计 15 分 ）1、 （ 7 分 ） 设 gf, 均 为 连 续 可 微 函 数 。 )(),( xyxgvxyxfu ，求 yuxu , 。2、 （ 8 分 ） 设 tx tx dzzftxu )(),( ， 求 tuxu , 。四 、 求 解 下 列 问 题 （ 共 计 15 分 ） 。 1、 计 算 I 20 2 2x y dyedx 。 （ 7 分 ）2、 计 算 dVyxI )( 22 ， 其 中 是 由 x 21,222 zzzy 及 所 围 成 的 空 间 闭 区 域 （ 8 分 ）五 、 （ 13 分 ） 计 算 L yx ydxxdyI 22 ， 其 中 L 是 xoy面 上 的 任 一 条 无 重 点 且 分 段 光 滑 不 经 过 原 点 )0,0(O 的 封闭 曲 线 的 逆 时 针 方 向 。六 、 （ 9 分 ） 设 对 任 意 )(, xfyx 满 足 方 程 )()(1 )()()( yfxf yfxfyxf ， 且 )0(f 存 在 ， 求 )(xf 。七 、 （ 8 分 ） 求 级 数 1 1212 )2()1(n nn nx 的 收 敛 区 间 。高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 二 ） 1、 设 zyxzyx 32)32sin(2 ， 则 yzxz 。2、 xy xyyx 93lim00 。3、 设 20 2 ),(xx dyyxfdxI ， 交 换 积 分 次 序 后 ， I 。4、 设 )(uf 为 可 微 函 数 ， 且 ,0)0( f 则 222 )(1lim 2230 tyxt dyxft 。5、 设 L 为 取 正 向 的 圆 周 422 yx ， 则 曲 线 积 分 4 / 13 L xx dyxyedxyey )2()1( 。6、 设 kxyzjxzyiyzxA )()()( 222 ， 则 Adiv 。7、 通 解 为 xx ececy 221 的 微 分 方 程 是 。8、 设 x xxf 0,1 0,1)( ， 则 它 的 Fourier 展 开 式 中 的 na 。二 、 选 择 题 （ 每 小 题 2 分 ， 共 计 16 分 ） 。1、 设 函 数 0,0 0,),( 22 2242 2 yx yxyx xyyxf ,则 在 点 （ 0， 0） 处 （ ） （ A） 连 续 且 偏 导 数 存 在 ； （ B） 连 续 但 偏 导 数 不 存 在 ；（ C） 不 连 续 但 偏 导 数 存 在 ； （ D） 不 连 续 且 偏 导 数 不 存 在 。2、 设 ),( yxu 在 平 面 有 界 区 域 D 上 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足02 yx u 及 22xu 022 yu ，则 （ ）（ A） 最 大 值 点 和 最 小 值 点 必 定 都 在 D 的 内 部 ；（ B） 最 大 值 点 和 最 小 值 点 必 定 都 在 D 的 边 界 上 ；（ C） 最 大 值 点 在 D 的 内 部 ， 最 小 值 点 在 D 的 边 界 上 ；（ D） 最 小 值 点 在 D 的 内 部 ， 最 大 值 点 在 D 的 边 界 上 。 3、 设 平 面 区 域 D： 1)1()2( 22 yx ， 若 D dyxI 21 )( ， D dyxI 32 )(则 有 （ ）（ A） 21 II ； （ B） 21 II ； （ C） 21 II ； （ D） 不 能 比 较 。4、 设 是 由 曲 面 1, xxyxyz 及 0z 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则 dxdydzzxy 32 =（ ）（ A） 3611 ； （ B） 3621 ； （ C） 3631 ； （ D） 3641 。5、 设 ),( yxf 在 曲 线 弧 L 上 有 定 义 且 连 续 ， L 的 参 数 方 程 为 )()(ty tx )( t ， 其 中 )(),( tt 在, 上 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且 0)()( 22 tt ， 则 曲 线 积 分 L dsyxf ),( （ ）(A) dtttf )(),( ； (B) dtttttf )()()(),( 22 ；(C) dtttttf )()()(),( 22 ； (D) dtttf )(),( 。 5 / 13 6、 设 是 取 外 侧 的 单 位 球 面 1222 zyx ， 则 曲 面 积 分 zdxdyydzdxxdydz =（ ）(A)0 ； (B) 2 ； (C) ； (D) 4 。7、 下 列 方 程 中 ， 设 21,yy 是 它 的 解 ， 可 以 推 知 21 yy 也 是 它 的 解 的 方 程 是 （ ）(A) 0)()( xqyxpy ； (B) 0)()( yxqyxpy ；(C) )()()( xfyxqyxpy ； (D) 0)()( xqyxpy 。8、 设 级 数 1n na 为 一 交 错 级 数 ， 则 （ ） (A)该 级 数 必 收 敛 ； (B)该 级 数 必 发 散 ；(C)该 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 ； (D)若 )0(0 nan ， 则 必 收 敛 。三 、 求 解 下 列 问 题 （ 共 计 15 分 ）1、 （ 8 分 ） 求 函 数 )ln( 22 zyxu 在 点 A（ 0， 1， 0） 沿 A 指 向 点 B（ 3， -2， 2）的 方 向 的 方 向 导 数 。2、 （ 7 分 ） 求 函 数 )4(),( 2 yxyxyxf 在 由 直 线 0,0,6 xyyx 所 围 成 的 闭 区 域 D 上 的 最 大值 和 最 小 值 。四 、 求 解 下 列 问 题 （ 共 计 15 分 ）1、 （ 7 分 ） 计 算 3)1( zyx dvI ， 其 中 是 由 0,0,0 zyx 及 1 zyx 所 围 成 的 立 体 域 。 2、 （ 8 分 ） 设 )(xf 为 连 续 函 数 ， 定 义 dvyxfztF )()( 222 ，其 中 222,0|),( tyxhzzyx ， 求 dtdF 。五 、 求 解 下 列 问 题 （ 15 分 ）1、 （ 8 分 ） 求 L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( ， 其 中 L 是 从 A（ a， 0） 经 2xaxy 到 O（ 0， 0） 的 弧 。2、 （ 7 分 ） 计 算 dxdyzdzdxydydzxI 222 ， 其 中 是 )0(222 azzyx 的 外 侧 。 六 、 （ 15 分 ） 设 函 数 )(x 具 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 并 使 曲 线 积 分 L x dyxydxxexx )()(2)(3 2 与 路 径 无 关 ， 求 函 数 )(x 。 6 / 13 高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 三 ）一 、 填 空 题 （ 每 小 题 3 分 ， 共 计 24 分 ）1、 设 yzxz t dteu 2 ， 则 zu 。2、 函 数 )2sin(),( yxxyyxf 在 点 （ 0， 0） 处 沿 )2,1(l 的 方 向 导 数)0,0(lf = 。3、 设 为 曲 面 0,1 22 zyxz 所 围 成 的 立 体 ， 如 果 将 三 重 积 分 dvzyxfI ),( 化 为 先 对 z 再 对y 最 后 对 x 三 次 积 分 ， 则 I= 。 4、 设 ),( yxf 为 连 续 函 数 ， 则 I Dt dyxft ),(1lim 20 ， 其 中 222: tyxD 。5、 L dsyx )( 22 ， 其 中 222: ayxL 。6、 设 是 一 空 间 有 界 区 域 ， 其 边 界 曲 面 是 由 有 限 块 分 片 光 滑 的 曲 面 所 组 成 ， 如 果 函 数 ),( zyxP ，),( zyxQ ， ),( zyxR 在 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 三 重 积 分 与 第 二 型 曲 面 积 分 之 间 有 关 系式 ： ， 该 关 系 式 称 为 公 式 。7、 微 分 方 程 9696 2 xxyyy 的 特 解 可 设 为 *y 。 8、 若 级 数 1 1)1(n pnn 发 散 ， 则 p 。二 、 选 择 题 （ 每 小 题 2 分 ， 共 计 16 分 ）1、 设 ),( bafx 存 在 ， 则 x bxafbaxfx ),(),(lim0 =（ ）（ A） ),( bafx ； （ B） 0； （ C） 2 ),( bafx ； （ D） 21 ),( bafx 。2、 设 2yxz ， 结 论 正 确 的 是 （ ）（ A） 022 xy zyx z ； （ B） 022 xy zyx z ； （ C） 022 xy zyx z ； （ D） 022 xy zyx z 。3、 若 ),( yxf 为 关 于 x 的 奇 函 数 ， 积 分 域 D 关 于 y 轴 对 称 ， 对 称 部 分 记 为 21,DD ， ),( yxf 在 D 上 连 续 ， 则 7 / 13 D dyxf ),( （ ）（ A） 0； （ B） 21 ),(D dyxf ； （ C） 41 ),(D dyxf ； (D)22 ),(D dyxf 。4、 设 ： 2222 Rzyx ， 则 dxdydzyx )( 22 =（ ）（ A） 538 R ； （ B） 534 R ； （ C） 5158 R ； （ D） 51516 R 。5、 设 在 xoy面 内 有 一 分 布 着 质 量 的 曲 线 L， 在 点 ),( yx 处 的 线 密 度 为 ),( yx ， 则 曲 线 弧 的 重 心 的 x 坐 标 x为 （ ）（ ） x= L dsyxxM ),(1 ； （ B） x= L dxyxxM ),(1 ； （ C） x=L dsyxx ),( ； （ D） x= L xdsM1 , 其 中 M 为 曲 线 弧 的 质 量 。 、 设 为 柱 面 122 yx 和 1,0,0 zyx 在 第 一 卦 限 所 围 成 部 分 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分 ydxdzxxzdydzzdxdyy 22 （ ）（ A） 0； （ B） 4 ； （ C） 245 ； （ D） 4 。 、 方 程 )(2 xfyy 的 特 解 可 设 为 （ ）（ A） A， 若 1)( xf ； （ B） xAe ， 若 xexf )( ；（ C） EDxCxBxAx 234 ， 若 xxxf 2)( 2 ； （ D） )5cos5sin( xBxAx ， 若 xxf 5sin)( 。 、 设 xxxf 01 0,1)( ， 则 它 的 Fourier 展 开 式 中 的 na 等 于 （ ）（ A） )1(12 nn ； （ B） 0； （ C） n1 ； （ D） n4 。三 、 （ 分 ） 设 ttxfy ),( 为 由 方 程 0),( tyxF 确 定 的 yx, 的 函 数 ， 其 中 Ff, 具 有 一 阶 连 续 偏 导数 ， 求 dxdy 。四 、 （ 分 ） 在 椭 圆 44 22 yx 上 求 一 点 ， 使 其 到 直 线 0632 yx 的 距 离 最 短 。 五 、 （ 分 ） 求 圆 柱 面 yyx 222 被 锥 面 22 yxz 和 平 面 0z 割 下 部 分 的 面 积 。六 、 （ 分 ） 计 算 xyzdxdyI ， 其 中 为 球 面 1222 zyx 的 0,0 yx 部 分 8 / 13 的 外 侧 。七 、 （ 10 分 ） 设 xxd xdf 2sin1)(cos )(cos ， 求 )(xf 。八 、 （ 10 分 ） 将 函 数 )1ln()( 32 xxxxf 展 开 成 x 的 幂 级 数 。高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 一 ） 参 考 答 案 一 、 1、 当 10 a 时 ， 10 22 yx ； 当 1a 时 ， 122 yx ；2、 负 号 ； 3、 23;110 D yeey dxdyd ； 4、 dttt )()( 22 ；5、 180 ； 6、 Cxxy sin ；7、 xx eCeCxCxCy 242321 2sin2cos ； 8、 1；二 、 1、 D； 2、 D； 3、 C； 4、 B； 5、 D； 6、 B； 7、 A； 8、 C；三 、 1、 21 fyfxu ； )( xyxgxyu ； 2、 )()( txftxfxu ； )()( txftxftu ；四 、 1、 )1(21 42020 0220 222 edyyedxedydyedx yy yx y ；2、 20 20 21 20 221 3223 3142r dzrdrddzrdrdI 柱 面 坐 标 ；五 、 令 2222 , yx xQyx yP 则 xQyx xyyP 222 22 )( ， )0,0(),( yx ；于 是 当 L 所 围 成 的 区 域 D 中 不 含 O（ 0， 0） 时 ， xQyP , 在 D 内 连 续 。 所 以 由 Green 公 式 得 ： I=0； 当 L 所 围 成 的 区 域 D 中 含 O（ 0， 0） 时 ， xQyP , 在 D 内 除 O（ 0， 0） 外 都 连 续 ， 此 时 作 曲 线 l 为)10(222 yx ， 逆 时 针 方 向 ， 并 假 设 *D 为 L 及 l 所 围 成 区 域 ， 则 9 / 13 2)( 222* yxDllLllL dxdyyPxQGreenI 公 式六 、 由 所 给 条 件 易 得 ： 0)0()0(1 )0(2)0( 2 ffff又 x xfxxfxf x )()(lim)( 0 = x xfxfxf xfxfx )()()(1 )()(lim0 x fxfxfxf xfx )0()()()(1 )(1lim 20 )(1)0( 2 xff 即 )0()(1 )(2 fxf xf cxfxf )0()(arctan 即 )0(tan)( cxfxf 又 0)0( f 即 Zkkc , )0(tan()( xfxf 七 、 令 tx 2 ， 考 虑 级 数 1 12 12)1(n nn nt 212 32 12 32lim tntnt nnn 当 12 t 即 1t 时 ， 亦 即 31 x 时 所 给 级 数 绝 对 收 敛 ；当 1t 即 3x 或 1x 时 ， 原 级 数 发 散 ；当 1t 即 1x 时 ， 级 数 1 1 12 1)1(n n n 收 敛 ；当 1t 即 3x 时 ， 级 数 1 12 1)1(n n n 收 敛 ；级 数 的 半 径 为 R=1， 收 敛 区 间 为 1， 3。 10 / 13 高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 二 ） 参 考 答 案一 、 1、 1； 2、 -1/6； 3、 20 2/ 42 2 2/ ),(),(yy y dxyxfdydxyxfdy ； 4、 )0(32 f ；5、 8 ； 6、 )(2 zyx ； 7、 02 yyy ； 8、 0；二 、 1、 C； 2、 B； 3、 A； 4、 D； 5、 C； 6、 D； 7、 B； 8、 C；三 、 1、 函 数 )ln( 22 zyxu 在 点 A（ 1， 0， 1） 处 可 微 ， 且)1,0,1(221 zyxxu A 2/1 ； 01 )1,0,1(2222 zy yzyxyu A ； 2/11 )1,0,1(2222 zy zzyxzu A而 ),1,2,2( ABl 所 以 )31,32,32( l ,故 在 A 点 沿 ABl 方 向 导 数 为 ： Alu Axu cos + Ayu cos + Azu cos.2/13121)32(03221 2、 由 0)24( 0)1()4(22 yxxf xyyxxyfyx 得 D 内 的 驻 点 为 ),1,2(0M 且 4)1,2( f ，又 0)0,(,0),0( xfyf而 当 0,0,6 yxyx 时 ， )60(122),( 23 xxxyxf令 0)122( 23 xx 得 4,0 21 xx于 是 相 应 2,6 21 yy 且 .64)2,4(,0)6,0( ff),( yxf 在 D 上 的 最 大 值 为 4)1,2( f ， 最 小 值 为 .64)2,4( f 四 、 1、 的 联 立 不 等 式 组 为 yxz xyx 10 10 10:所 以 10 10 10 3)1(x yx zyxdzdydxI 11/ 13 x dyyxdx 10 210 41)1( 121 10 1652ln21)4311(21 dxxx2、 在 柱 面 坐 标 系 中 20 0 0 22 )()( t h rdzrfzdrdtF t drrhrrhf0 32 31)(2所 以 31)(2 32 thtthfdtdF 31)(2 22 htfht 五 、 1、 连 接 OA， 由 Green 公 式 得 ： OAOALI OAOAL 0,22 0)coscos(yaxyx xxGreen dxdymyeye公 式 281 am2、 作 辅 助 曲 面 2221 : ayx az ， 上 侧 ， 则 由 Gauss 公 式 得 ：I +1 1 = 11= azzyx ayx dxdyadxdydzzyx0, 2 222 222)(2= a zyx azdxdydz0 42222 40 43 212 aadzza 六 、 由 题 意 得 ： )()(2)(3 2 xxexx x 即 xxexxx 2)(2)(3)( 特 征 方 程 0232 rr ， 特 征 根 2,1 21 rr 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 ： xx ececy 221 又 因 为 2 是 特 征 根 。 故 其 特 解 可 设 为 ： xeBAxxy 2* )( 12 / 13 代 入 方 程 并 整 理 得 ： 1,21 BA即 xexxy 2* )2(21 故 所 求 函 数 为 ： xxx exxececx 2221 )2(21)( 高 等 数 学 （ 下 册 ） 考 试 试 卷 （ 三 ） 参 考 答 案一 、 1、 2222 zxzy xeye ； 2、 5； 3、 11 11 1022 22 ),(xx yx dzzyxfdydx ；4、 325);0,0( af 、 ； 6、 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )( ，Gauss 公 式 ； 7、 CBxAx 2 8、 0P 。二 、 1、 C； 2、 B； 3、 A ； 4、 C ； 5、 A ； 6、 D ； 7、 B ； 8、 B三 、 由 于 dttxfdxtxfdy tx ),(),( ， 0 dtFdyFdxF tyx由 上 两 式 消 去 dt ， 即 得 ： ytt xttx FfF FfFfdxdy 四 、 设 ),( yx 为 椭 圆 44 22 yx 上 任 一 点 ， 则 该 点 到 直 线 0632 yx 的 距 离 为13 326 yxd ； 令 )44()326( 222 yxyxL ， 于 是 由 ： 044 08)326(6 02)326(4 22 yxL yyxL xyxLyx 得 条 件 驻 点 ： )53,58(),53,58(),53,58(),53,38( 4321 MMMM依 题 意 ， 椭 圆 到 直 线 一 定 有 最 短 距 离 存 在 ， 其 中 131313 326 1min Myxd 即 为 所 求 。五 、 曲 线 yyx yxz 222 22 在 yoz面 上 的投 影 为 0 )0(22x zyyz于 是 所 割 下 部 分 在 yoz面 上 的 投 影 域 为 ： 13 / 13 yzyDyz 20 20: ， y由 图 形 的 对 称 性 ， 所 求 面 积 为 第 一 卦 限 部 分 的 两 倍 。dzxyxA yzD 22 )()(12 x yzD y yydzdyyydydz 21 20 22 82222六 、 将 分 为 上 半 部 分 221 1: yxz 和 下 半 部 分 222 1: yxz ，21, 在 面 xoy上 的 投 影 域 都 为 ： ,0,0,1: 22 yxyxDxy 于 是 ： 1 221 dxdyyxxyzdxdy xyD 1511cossin20 10 22 dd极 坐 标 ； 2 151)(1( 22 dxdyyxxyxyzdxdy xyD ， 21I =152七 、 因 为 xxd xdf 2sin1)(cos )(cos ， 即 xxf 2sin1)(cos 所 以 22)( xxf cxxxf 3312)(八 、 )1ln()1ln()1)(1ln()( 22 xxxxxf 又 1,1(,)1()1ln( 1 1 uunu n nn 1 1 211 1,1(,)1()1()( n n nnnn xxnxnxf 1 1 1,1(),1()1(n nnn xxxn
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