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椭圆及其标准方程,2003年10月15日，中国“神州5号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦。那么大家可否知道：,一、创设情境、引入新课：,“神州5号”飞船绕着地球飞行时运行的轨迹是什么？,在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？,想一想：,圆的定义及画法,椭圆呢？,1、动手实践,请同学们将一根无弹性的细绳的两端固定在纸上的F1和F2两点，用铅笔尖（M）把绳子拉紧使笔尖在纸上慢慢移动，观察笔尖移动的轨迹是什么图形?,二、椭圆的定义及其标准方程：,原来是一个椭圆!,（1）在平面内,（2）两个定点F1，F2间的距离确定(常记为2c),（3）绳长(常记为2a)|F1F2|,从动手实践中大家应该注意到椭圆包含以下几个要素：,由此可归纳出椭圆的定义：,2、椭圆的定义,我们把平面内与两个定点F1，F2的距离(2c)之和等于常数2a（|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.,思考讨论：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？,这两个定点叫做椭圆的焦点两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距(用2c表示),思考探究：椭圆的方程如何来求呢？,线段F1F2,轨迹不存在,当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？,O,r,设圆上任意一点P(x，y),以圆心O为原点，建立平面直角坐标系(如图示),两边平方，得：,建系设点,列式,坐标化,化简方程,证明,圆的方程的推导方法：,（这是坐标法求曲线方程的方法步骤）,(1)、建立适当(探讨如何建立)平面直角坐标系,方案一,建系原则：尽可能使方程的形式与运算简单；(对称、简洁)(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),3、椭圆的标准方程的推导,（2）取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离之和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).,（如何化简？）,由椭圆的定义得：,代入坐标得：,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,先移项，后平方得,即可得,化简整理得,为使方程形式简单,叫做椭圆的标准方程,它表示的是椭圆的焦点在x轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程,其中,如图，a，b，c的几何意义：,P,.,p,0,它表示的是焦点在y轴上的椭圆的标准方程。,如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：,焦点则变成,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程的再认识：,(1)椭圆标准方程的形式：左边是两个平方和，右边是1的方程；,(2)椭圆的标准方程中，焦点在x2与y2分母大的那个轴上；,(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足：a2=b2+c2,例1、已知两定点F1F2间的距离为6，动点M到两定点的距离之和为6，那么(1)此动点M的轨迹是椭圆吗？,三、应用巩固：,(2)若动点到两定点的距离之和为8呢？,建立适当的坐标系，求出其标准方程,解：(1)由椭圆的定义可知：当两定点F1F2的距离等于动点到这两定点的距离之和时,动点的轨迹是线段F1F2(2)以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,由椭圆的定义及题意可知：2a=8,2c=6，所以，a=4,c=3,所以，b=ac=4-3=7则所求动点M的轨迹方程为：,例2、填空：已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_，焦距等于_;,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,a=4，b=1，焦点在x轴上；，焦点在Y轴上；,四、课堂练习,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,答案：,五、课时小结：,1、知识点：理解椭圆的定义，掌握其标准方程；注意随坐标系的选择不同，标准方程也不同；无论哪种标准方程都有ab0，对于ax2by2c，只要a，b，c同号，就可以化为椭圆的标准方程.2、方法：坐标法3、数学思想：换元思想、分类讨论思想,4、解题方法：待定系数法,1、习题2-1：第1、2题2、课后思考:依据椭圆的标准方程及其图形特点探究椭圆具有哪些性质？,六、作业布置：,再见,寄语：是花就要绽放，是树就要撑出绿荫，是水手就要搏击风浪，是雄鹰就要展翅飞翔！,在此对各位的到来表示衷心的感谢！,
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