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第24讲图形的对称、平移和旋转,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一平移1.平移的定义:在平面内,把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离,这种变换叫做平移.2.平移的性质(1)通过平移得到的图形与原来的图形是全等形;(2)在平面内,一个图形经过平移后得到的图形与原来图形的对应线段相等,对应角相等,各对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等.温馨提示(1)平移的要素:平移的方向和平移的距离.(2)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,知识点二轴对称与轴对称图形,知识点三旋转1.旋转的定义:在平面内,把一个图形绕一个定点沿某一个方向(顺时针或逆时针)旋转某个角度,这样的图形运动称为旋转.定点O叫做旋转中心,旋转的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.温馨提示(1)旋转的要素:旋转中心、旋转方向、旋转角.(2)确定旋转中心的方法:分别作两组对应点所连线段的垂直平分线,其交点即为旋转中心.,2.旋转的性质(1)旋转前、后的图形的形状和大小都没有发生改变;(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.,知识点四中心对称与中心对称图形,泰安考点聚焦,考点一识别轴对称图形和中心对称图形例1(2018淄博)下列图形中,不是轴对称图形的是(C),解析根据轴对称图形的概念,可知选项C中的图形不是轴对称图形.故选C.,变式1-1(2018德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B),解析A是中心对称图形;B既是轴对称图形又是中心对称图形;C是轴对称图形;D既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选B.,考点二翻折中考解题指导翻折具有不变性,正确找到对应点、对应线段、对应角,常结合勾股定理解题.,例2如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿直线BE折叠后得到GBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4,则FD的长为(B)A.2B.4C.D.2,解析连接EF,ABE沿直线BE折叠后得到GBE,BG=AB=6,AE=EG,EGB=A=90,E是AD的中点,AE=ED=EG.在RtEDF与RtEGF中,ED=EG,EF=EF,RtEDFRtEGF,FD=FG,设FD=FG=x,在RtBFC中,BF=6+x,CF=6-x,BC=4,由BF2=CF2+BC2,即(6+x)2=(6-x)2+(4)2,解得x=4,故选B.,变式2-1(2017枣庄)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为(B)A.2B.C.D.1,解析四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,FB=AB=2,BM=1,则在RtBMF中,FM=,故选B.方法技巧折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对称,折叠前后的两个图形是全等形,对应线段相等,对应角相等.,考点三平移中考解题指导图形的平移和其他知识的综合是泰安中考的热点问题.,例3(2018泰安)如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,ABC经过平移后得到A1B1C1,若AC上一点P(1.2,1.4)平移后的对应点为P1,点P1绕原点顺时针方向旋转180,对应点为P2,则点P2的坐标为(A)A.(2.8,3.6)B.(-2.8,-3.6)C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6),解析A(1,1),A1(-3,-4),图形的平移规律为向下平移5个单位长度,再向左平移4个单位长度.P(1.2,1.4),点P在AC上,点P平移后的对应点为P1,P1(-2.8,-3.6).点P1绕原点顺时针方向旋转180,对应点为P2,P2(2.8,3.6),故选A.,变式3-1如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分的面积为(A)A.48B.96C.84D.42,解析由平移的性质知,BE=6,DE=AB=10,SABC=SDEF,OE=DE-DO=10-4=6,S四边形ODFC=S梯形ABEO=(AB+OE)BE=(10+6)6=48.故选A.方法技巧在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.,考点四旋转中考解题指导在理解旋转的特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角.旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.,例4(2017泰安)如图,在正方形网格中,线段AB是线段AB绕某点逆时针旋转角得到的,点A与A对应,则角的大小为(C)A.30B.60C.90D.120,解析如图.显然,旋转角为90.,变式4-1(2017威海)如图,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是(1,1)或(4,4).,解析当点A的对应点为点C时,连接AC,BD,分别作线段AC,BD的垂直平分线交于点E,如图1所示.A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),E点的坐标为(1,1);当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线交于点M,如图2所示,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),M点的坐标为(4,4).综上所述:这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).,考点五坐标系中的图形变换中考解题指导考查对称、平移、旋转的作图题时,要细心作图,找准变换后的对应点;已知图形变换求某点的坐标时,通常需要作辅助线.,例5如图,在正方形网格中,ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答问题:(1)将ABC向右平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1;(2)画出ABC关于x轴对称的A2B2C2;(3)将ABC绕原点O旋转180,画出旋转后的A3B3C3;(4)在A1B1C1、A2B2C2、A3B3C3中,A2B2C2与A3B3C3成轴对称;A1B1C1与A3B3C3成中心对称.,解析(1)A1B1C1如图所示.(2)A2B2C2如图所示.(3)A3B3C3如图所示.(4)A2B2C2,A3B3C3,A1B1C1,A3B3C3.,变式5-1如图,AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2,),底边OB在x轴上.将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点A的对应点A在x轴上,则点O的坐标为(C)A.B.C.D.,解析如图,过点A作ACOB于点C,过点O作ODAB于点D.A(2,),OC=2,AC=,由勾股定理得,OA=3,AOB为等腰三角形,OB是底边,OB=2OC=22=4,由旋转的性质得,BO=OB=4,ABO=ABO,OD=4=,BD=4=,OD=OB+BD=4+=,点O的坐标为.故选C.方法技巧平移的要素是平移的方向和平移的距离,旋转的要素是旋转中心、旋转方向、旋转角.,考点六利用轴对称求最短距离例6(2017枣庄)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为(C)A.(-3,0)B.(-6,0)C.D.,解析作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.令y=x+4中x=0,则y=4,点B的坐标为(0,4).令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得x=-6,点A的坐标为(-6,0).点C,D分别为线段AB,OB的中点,点C(-3,2),点D(0,2).点D和点D关于x轴对称,点D的坐标为(0,-2).设直线CD的解析式为y=kx+b,直线CD过点C(-3,2),D(0,-2),有解得直线CD的解析式为y=-x-2.,令y=-x-2中y=0,则0=-x-2,解得x=-,点P的坐标为.故选C.方法技巧此类问题一般是已知直线同侧存在两点,在直线上取一点,使得该点到已知两点距离之和最短,其解决方法是作其中一点关于直线的对称点,此两点所在直线与已知直线的交点即为所求的点.,一、选择题1.(2017泰安)下列图案,其中,中心对称图形是(D)A.B.C.D.,随堂巩固训练,2.(2018河北)图中是由“”和“”组成的轴对称图形,则该图形的对称轴是直线(C)A.l1B.l2C.l3D.l4,3.(2018青岛)如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90,得到线段AB,其中点A、B的对应点分别是点A、B,则点A的坐标是(D),A.(-1,3)B.(4,0)C.(3,-3)D.(5,-1),4.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A处,点B落在点B处.若2=40,则图中1的度数为(A)A.115B.120C.130D.140,5.(2017潍坊)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图.她放的位置是(B)A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,-2)D.(-1,-2),二、填空题6.如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC=8,则ABF的面积为6.,解析由折叠知AF=FC,设BF=x,则AF=FC=8-x,在RtABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以SABF=ABBF=6.,7.(2017东营)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为2.,解析如图作CEAB于E,交BD于P,连接AC,AP.已知菱形ABCD的周长为16,面积为8,AB=BC=4,ABCE=8,CE=2.在RtBCE中,BE=2,BE=EA=2,E与E重合.四边形ABCD是菱形,BD垂直平分AC,A,C关于BD对称,当P与P重合时,PA+PE的值最小,最小值为CE的长=2.,8.(2018潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30至正方形ABCD的位置,BC与CD相交于点M,则点M的坐标为.,解析连接AM,在RtABM和RtADM中,RtABMRtADM.DAM=BAM=30.,在RtADM中,tanDAM=tan30,DM=ADtan30=1=.M.,三、解答题9.如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且EAF=45,将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,连接EQ,求证:(1)EA是QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2.,证明(1)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,QAF=90,AF=AQ.EAF=45,QAE=45.在AQE和AFE中,AQEAFE(SAS),QEA=FEA,EA是QED的平分线.(2)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,QB=DF,AQEAFE,QE=EF.ABD=ADB=45,ABQ=ADB=45,QBE=90.在RtQBE中,QB2+BE2=QE2,即EF2=BE2+DF2.,
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