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第一章复数与复变函数(Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable),1.1复数1.2复数的表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大与复球面1.5复变函数,1.1复数1.2复数的表示,一、复数的概念,1.1复数(Complexnumber),二、复数的四则运算,三、复平面,注意:任意两个复数不能比较大小。,一.复数的概念,对任意两实数x、y,称z=x+iy为复数。,复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.,设复数,(表示的唯一性),设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2,则(1)z1z2=(x1x2)+i(y1y2)(2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),二、复数的四则运算,复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。,全体复数并引进上述运算后称为复数域,用C表示。,共轭复数,设,称为z的共轭复数.,0,x,y,z=x+iy,z=x-iy,-,共轭复数的性质,三、复平面,则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数,称为实轴,y轴上的点表示纯虚数,数称为虚轴;整个坐标平面我们称为复平面或z平面,复平面,实轴,虚轴,例如上半平面下半平面它们都以实轴为边界,左半平面右半平面它们都以虚轴为边界。带形域,o,x,y,方形域z:0Rez1,0Imz1,1.2复数的三角表示(Therepresentationofcomplexnumber),一、复数的模和辐角,二、复数的三角不等式,三、复数的三角表示方法,四、用复数的三角表示作乘除法,五、复数的乘方与开方,一、复数的模和辐角,x,y,向量的长度称为复数的模,记作:,向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角,记作:由于任意非零复数有无限多个辐角,用表示符合条件的一个角,称为复数主辐角。即的主值,于是,注意:(1)当时,其模为零,幅角无意义(2)规定逆时针方向旋转的角度为正.(3)对任意的z0,有无穷多个辐角,彼此相差2的整数倍.所以z1=z2r1=r2,1=2+2k,k(整数集),例如:,二、复数的三角不等式,关于两个复数,的和与差的模,有下列不等式:,平面上一矢量oz与一复数z构成一一对应,复数的加减与矢量的加减一致。,x,y,O,事实上,有,1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法,三、复数的表示方法,注:复数的代数表示为z=x+iy,1.点的表示法,2.向量表示法,x,y,3、三角表示法,上式右端称为复数的三角表示式,设的复数,复数的模为,复数的辐角,则,解:因为,4、指数表示法,的指数表示,注意,四、用复数的三角表示作乘除法,后一个式子应理解为集合相等。,设、是两个非零复数,则有,几何意义:将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2,再将其伸缩到|z2|倍。,o,1,2,z1z2,z1,z2,2,同理,对除法有,即,后一个式子也应理解为集合相等。,五、复数的乘方与开方,1、复数的乘方2、复数的开方,1.复数的乘方,设则,特别:当r=1时,则有此实称为棣莫佛(DeMoivre)公式。,例如:,(指数形式),2、复数的开方,开方是乘方的逆运算,设,则称复数,为复数,容易得,其中r=|z|,=argz.,解:由于,几何上,的n个值是以原点为中心,为半径的圆周上n个等分点,即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,1.3平面上点集的一般概念1.4复球面与无穷大,1.5复变函数,1.3平面点集的一般概念,一、开集与闭集二、区域三、平面曲线,一、开集与闭集,邻域平面上以为心,为半径的圆的内部所有点的集合称为点的邻域,记作,即,称集合为的去心邻域,记作,邻域平面上以为心,为半径的圆的内部所有点的集合称为点的邻域,记作,即,z0,若存在0,使得E的内点.,E,z0,z0,.,开集如果点集的每一个点都是的内点,则称为开集.,连通集设是开集,如果对于内任意两点,都可用内折线连接起来,则称开集是连通集,定义若,均有则称为有界集,否则称E为无界集,例如:|z|0,1Imz2,是开集,无界集,二、区域,区域(或开区域)连通的开集称为区域,或开区域.,闭区域开区域连同它的边界一起,称为闭区域,记为,注意:区域都是开的,不含它的边界,所以表示区域的不等式一般不带等号,但个别除外。,o,1,例1.5平面上以点为心,R为半径的圆周内部(即圆形区域):例1.6平面上以点为心,为半径的圆周及其内部(即圆形闭区域):例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周为边界,且均为有界域,使,则称此曲线C有重点,,无重点的连续曲线称为简单曲线或约(Jordan)曲线;,除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线。,三、平面曲线,1.简单曲线、简单闭曲线,2.光滑曲线、分段光滑曲线,设曲线的方程为,若,在上可导,且,连续不全为零,则称曲线为光滑曲线,由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.,3.单连通域、多连通域,设是复平面上一区域,如果在内任作一条简单闭曲线,其内部的所有点都,在中,则称区域为单连通区域;否则称为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上,单连通区域是一个没有“空(点洞)和缝隙”的区域,而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域,它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞,除去几个点或一条线段而形成的区域,对于简单闭曲线的方向,通常我们是这样来规定的:当观察者沿C绕行一周时,C的内部始终在C的左方,即“逆时针”(或“顺时针”)方向,称C为的正方向(或负方向),单,逆时针,外逆内顺,复数在几何上的应用,1、连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线的参数方程为,z1,z2,Z,z,由此可得三点z1,z2,z3共线的充要条件是,2、平面上以原点为心,R为半径的圆周的方程为平面上以为心,R为半径的圆周的方程为3、z平面上实轴的方程为,虚轴的方程为,4、z1z2z3是等边三角形向量z2-z1绕z1旋转/3,z1,z2,z3,/3,-/3,z3,例:已知正三角形的两个顶点为,求三角形的另一个顶点。,x,y,O,4无穷大与复球面,一、复球面二、扩充复平面的定义,.,一、复球面,1、南极、北极的定义,x,y,O,N,S,z,如右图取一张复平面,做一个与复平面相切与原点z=0的球面,,.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,2、复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N之间一一对应关系.,.,因而球面上的北极N就是复数的几何表示.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,二、扩充复平面的定义,我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.,复平面加上无穷远点后称为扩充复平面,记作C,.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,64,1.5复变函数(Functionofthecomplexvariable),一、复变函数二、映射的概念三、复变函数的极限与连续性,一.复变函数,例1,例2,69,取两张复平面,分别称为z平面和w平面,70,二、映射的概念,在几何上,可以看作:,1.复变函数的极限2.复变函数极限的四则运算法则3.复变函数的连续性,三、复变函数的极限与连续性,1.复变函数的极限,定义1.1,定理1.1,注:定义中的方式是任意的.,2、复变函数极限的四则运算法则:,.,例1试求极限,解:,.,例2,证明:,3.复变函数的连续性,定义1.2,定理1.2,注1.,第一章总结,
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