基本公式、直线的斜率、直线的方程.ppt

,1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于()(A)-1(B)1(C)-3(D)3【解析】选C.因为又A、B、C三点共线，所以kAB=kAC，即解得：x=-3.,2.直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()(A)30(B)60(C)150(D)120【解析】选B.由直线方程得y=x+a，所以斜率k=,设倾斜角为,所以tan=,又0180，所以=60.,3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标为()(A)-11(B)-1或11(C)-1(D)1或-11【解析】选A.设A的坐标为x,则BA=x-(-5)=x+5,又BA=-6,x+5=-6,x=-11.,4.如果AC0),A(a,0),B(0,b),解得所求直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0，得直线l在x轴的正半轴上截距令x=0,得直线l在y轴的正半轴上的截距b=2-3k,解得所求直线l的方程为即2x+3y-12=0.,【规律方法】求直线方程的常用方法有：1.直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程.2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程.提醒：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论.,【变式训练】求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l；(2)经过点A(-1,-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为l过点(3，2)，a=5,l的方程为x+y-5=0.综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2,tan=3，又直线经过点A(-1，-3),因此所求直线方程为即3x+4y+15=0.,【例】直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.(1)当|OA|+|OB|最小时，O为坐标原点，求l的方程；(2)当|PA|PB|最小时，求l的方程.【审题指导】抓住直线l过点P(1,4),设出直线l的点斜式方程.将A、B两点坐标用斜率k表示.进而将|OA|+|OB|、|PA|PB|再分别表示为斜率k的函数，然后求其最值.,【规范解答】设直线l的斜率为k.依题意，l的斜率存在，且斜率为负,则y-4=k(x-1)(k0).令y=0,可得A(0)；令x=0,可得B(0,4-k).,(1)当且仅当且k0.“=”成立的条件是k0且即Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.,忽略“极端”情况的讨论【典例】(2011徐州模拟)与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.【审题指导】解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.,【规范解答】当截距不为0时，设所求直线方程为即x+y-a=0,点M(4,3)与所求直线的距离为5,所求直线方程为当截距为0时，设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0.同理可得所求直线方程为即4x+3y=0.综上所述，所求直线方程为答案：,【误区警示】解答本题易忽略截距为0的“极端”情况导致失误，在选用直线方程时常易忽视的“极端”情况有：1.选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;2.选用截距式时，忽视截距为零的情况；3.选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.,【变式训练】求满足下列条件的直线方程；(1)过(1,2)，(2，b)两点；(2)过点P(2,-1)，在x轴和y轴上的截距分别为a,b且满足a=3b.,【解析】(1)当b2时，由两点式，得：得：(2-b)x+y+b-4=0,当b=2时，直线方程为y=2.(2)若a=3b=0，则直线过原点(0,0),此时直线斜率直线方程为x+2y=0.若a=3b0，设直线方程为即由于点P(2,-1)在直线上，所以从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.,1.(2010辽宁高考)已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()【解题提示】先求y的导数，并确定其值域即tan的范围，再结合正切函数在上的图象，求出的取值范围.,【解析】选D.y-1,0),tan-1,0)，又0，),故选D.,2.(2011威海模拟)已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为()【解析】选A.l2、l1关于y=-x对称，l2的方程为-x-2y+3,即y=x+,l2的斜率为，故选A.,3.(2011泉州模拟)已知函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线(m0,n0)上，则m+n的最小值为_.【解析】函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A，A点坐标为(1，1).又点A在直线上，(m0,n0)，m+n的最小值为4.答案：4,一、选择题（每小题4分，共20分）1.对于数轴上任意三点A、B、O，在如下的关系中，不恒成立的是()(A)AB=OB-OA(B)AO+OB+BA=0(C)AB=AO+OB(D)AB+AO+BO=0,【解析】选D.A显然成立;B.AO+OB+BA=AB+BA=AB-AB=0，成立；C.由公式AC=AB+BC知成立;D.AB=AO+OB,AB+AO+BO=AO+OB+AO+BO=2AO+OB-OB=2AO,AO=0时成立,AO0时不成立.,2.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为，则该直线关于直线x=m(mR)对称的直线的倾斜角等于()(A)-(B)-(C)2-(D)-【解析】选D.结合图形可知+=,故=-.,3.已知直线l过点(m,1)，(m+1,tan+1)，则()（A）一定是直线l的倾斜角（B）一定不是直线l的倾斜角（C）不一定是直线l的倾斜角（D）180-一定是直线l的倾斜角【解题提示】判断是否为直线l的倾斜角，就是看tan是否等于k且看的范围是否是0,).,【解析】选C.根据题意，直线l的斜率令为直线的倾斜角，则一定有0,),且tan=k,所以若0,),则是直线l的倾斜角；若0,),则不是直线l的倾斜角，所以不一定是直线l的倾斜角.,4.已知直线PQ的斜率为将直线绕点P顺时针旋转60所得的直线的斜率是()(A)0(B)(C)(D)【解析】选C.PQ的斜率为其倾斜角为120.将直线PQ绕点P顺时针旋转60所得直线的倾斜角为60,故斜率为,5.若直线l的斜率为k,倾斜角为,而),则k的取值范围是()(A)-,1)(B)1)(C)-,0)(D)-，0)1),【解析】选D.k=tan在)和)上都是增函数，k1)-,0).,二、填空题(每小题4分，共12分)6.直线3x-2y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k的值是_.【解析】分别令x=0,y=0得直线3x-2y+k=0在y轴,x轴上的截距为解得k=12.答案:12,7.不论m取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点_.【解题提示】将原方程化为关于参数m的方程f(x,y)m+g(x,y)=0，解得(x,y)即定点.,【解析】已知直线方程可化为(x+2)m-x-y+1=0，解得定点坐标为(-2，3).答案:(-2，3),8.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)(ab0)三点共线，则的值为_.【解析】根据A(a,0),B(0,b),确定直线的方程为:又C(-2,-2)在该直线上,故答案:,三、解答题(每小题9分，共18分)9.已知实数x,y满足2x+y=8，当2x3时，求的最值.【解题提示】可利用的几何意义求解.也可利用条件用x表示y，进而将所求转化为求函数的最值.,【解析】方法一：如图，设点P(x,y)，因为x,y满足2x+y=8,且2x3,所以点P(x,y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2).因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2,kOB=所以的最大值为2，最小值为,方法二：代数解法：由2x+y=8得y=8-2x,故根据单调性可知,当x=2时，取最大值-2=2，当x=3时，取最小值,10.(2011西安模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程;(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【解题提示】(1)分直线过原点与不过原点求直线方程.(2)l不经过第二象限得斜率大于等于零，在y轴上的截距小于等于零.,【解析】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等.a=2,方程即为3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得=a-2,即a-2=0或a+1=1,a=2或a=0，方程即为3x+y=0 x+y+2=0.,(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,a-1.综上可知a的取值范围是a-1.,【探究创新】(10分)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由.,【解析】存在.理由如下.设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)，则A(2-0)，B(0,1-2k)，AOB的面积S=(1-2k)(2-)=4+(-4k)+(-)(4+4)=4.当且仅当-4k=-即k=-时，等号成立，故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0.,【方法技巧】直线有关问题求解技巧1.对于是否存在的探索性问题，通常先假设存在，再求解，若求出即存在，无解时可说明理由.2.已知直线过某一点，求直线方程时，通常利用点斜式求方程，即设直线的斜率，由点斜式，再结合其他已知条件，列方程求出斜率k，即得方程.本题由于涉及到与两坐标轴围成的三角形的面积，故直线方程的截距式也是不错的选择，设截距式方程后，由直线过定点可列出关于截距的方程，进而利用面积最小求得直线在x,y轴上的截距也可以得直线方程.,Thankyou!,