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七年级上册第1章 有理数第一讲 有理数益思对话认识数学领域中的中国面孔“一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现它的国力强大。” （法）拿破仑自1840年鸦片战争始，腐败的清王朝屡次对外战争的失败，致使国门洞开，一次次丧权辱国的割地赔款，使国人清醒地认识到西方世界科学技术之强大，而科学技术的强大又是建立在基础科学的强大之上，而基础科学的语言与工具之一就是数学，虽然，中华民族有着渊远博大、自成一派的数学体系，甚至从公元一世纪至十一世纪初长达一千多年的时间里傲立于世界数学之巅，但随着十四世纪中叶明王朝建立之后，统治者奉行八股文的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容，自此中国古代数学开始全面衰弱，而几乎与此同时，西方世界正值文艺复兴时期，崇尚科学之风盛行，近代高等数学也在这种氛围中开始萌芽、发展、壮大，并为科学技术的发展提供了强有力的工具，而我国直至十九世纪末才开始近代高等数学的学习与研究，虽然经过几代数学工作者的奋力追赶，但时至今日仍能深切感受到与西方发达国家之间不小的差距，世界著名华人数学家、沃尔夫奖获得者陈省身曾说，我所做的一切只为实现一个理想使中国成为21世纪数学大国，正是这种共同理想的激励之下，一批又一批志士仁人前赴后继投身其中。益思互动1.整数和分数统称为有理数。2.有理数还可以这样定义：形如（其中均为整数，县）的数是有理数，这种表达形式被用来证明或判断某个数是不是有理数。3有理数的数系表：4有理数可以用数轴上的点表示。5零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。6如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数，如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。7有理数的运算法则：（1）加法：两数相加，同号的取原来的符号、并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘，积为0。乘方：求个相同因数口的积的运算称为乘方，记为。（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。益思练场1下列说法中，正确的是 （ ）A负数和负分数统称为有理数 B正分数、负分数统称为分数C正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数 D0不是有理数2把下列各数填相应的大括号里： 正整数的有： ； 负整数的有： ；正分数的有： ； 负分数的有： 。3数轴上原点及其左边的点表示是 （ ）A负整数 B正整数 C负数 D负数和04如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A. B. C. D.5数轴上到原点的距离为2的点所表的数是 。6请你指出下图中哪些不是数轴？并说出你判断的理由。益思精析类型一：有理数的概念【例1.1】有如下四个命题：有理数的相反数是正数；负数与正数的和为零；两个负有理数的比值是正数；两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和。其中真命题有 （ ）A4个 B3个 C2个 D1个【例1.2】一组数按规律依次为：（1）请猜想：依此规律= ；（2）如果我们定义一种新运算； 。【变式1】定义一种对正整数的“F运算”：当为奇数时，结果为；当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取=26，则若，则第449次“F运算”的结果是 。类型二：比较大小【例2】比较与的大小【变式2.1】已知有理数满足，那么中最大数是 ，最小数是 。 【变式2.2】下列说法正确的是 （ ）A“黑”和“白”是具有相反意义的量 B“快”和“慢”是具有相反意义的量C“向北走4.5m”和“向南走8m”是具有相反意义的量 D“+15m”就表示向东走15m【例3.1】有如下4个判断性语句：符号相反的数互为相反数；任何有理数的绝对值都是非负数；一个数的相反数一定是负数；如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数，其中正确的有（ ）个。A1 B2 C3 D4【变式3.1】数在数轴位置如下图所示，那么大小顺序为 。（用不等号连接）【变式3.2】有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则类型二：科学计数法【例4.1】据统计全球每分钟大约会有340000名婴儿诞生，婴儿出生数用科学计数法可表示为 名。【例4.2】尽管受到国际金融危机的影响，但长沙市经济依然保持了平衡增长，据统计，截止到今年4月底，我市金融机构存款余额约为1193亿元，用科学记数法应记为 （ ）A元 B元 C元 D元【变式4】横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（Shellzhen Bay Bridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学计数法表示为（保留两个有效数字）（ ）A B C D【例4.3】已知一个四位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为，则满足该条件的四位数有（ ）个。A 8 B 9 C 10 D 11 【变式4.1】已知一个五位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为，则满足该条件的五位数有 个。类型三：找规律【例5】观察下面一组数据，探求其规律：（1）写出第7、8、9项的三个数；（2）第2010个数是什么？（3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？【变式5】已知时，；当时，；当时，；.则的值为 。益思拓展A夯实基础1如果两个数的和为正数，那么 （ ）A这两个数都是正数 B一个数为正，一个数为0C两个数一正一负，且正数绝对值大 D必属上面三种之一2下列说法正确的是 （ ）A负数没有倒数 B大于1的正数的倒数比自身小 C任何有理数都有倒数 D的倒数是3某市水质检测部门2008年全年共监测水量达万吨，将数字用科学记数法（保留两位有效数字）表示为 （ ）A. B C D4今年某市约有名应届初中毕业生参加中考，用科学记数法 （ ）A B C DB能力拓展5一个数的平方是，这个数的立方是 （ ）A B C或 D或6有如下三个结论甲：中至少有两个互为相反数，则；乙：中至少有两个互为相反数，则；丙：中至少有两个互为相反数，则。其中正确结论的个数是 （ ）A B C D7如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数 （ ）A一定是正数 B一定是负数 C是正数或是负数 D可以是任意的有理数8已知甲数是的相反数，乙数比甲数的相反数大，则乙数比甲数大 。C综合创新9在等式的两个方格内分别填一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是 。10.已知互为相反数,互为倒数，的绝对值等于3，求的值。11 在五环图案内，分别填写五个数,如图 ,其中是三个连续偶数（）,是两个连续奇数()，且满足,例如 ，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：12已知互为相反数，互为倒数，且 。13三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，试求的值。第二讲 数形结合话数轴益思对话 笛卡尔（Rene Descartes,1596-1650），法国数学家，笛卡尔在数学上的最大贡献是提出了解析几何学的主要思想和方法，并指明了其发展方面，他在几何学中，将逻辑、几何、代数方法结合来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的轮廓，从此，数和形就走到了一起。数形结合切换体验想体验一下数形相结合吗？问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想试一试吗？如图，四个图都称作平面图，观察图和表中对应数值，探究其中的规律并作答。（1）数一数每个图各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入表中（其中已填好）。（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系。数学符号的严历在和科学的发展过程中，人类创造了用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的教学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史就是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步继续走下去，数学的每个进步都伴随着新的数学符号的产生。“+”是15世纪德数数学家魏德美创造的，它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加。“”也是德国数学家魏德美创造的，它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少。“”是18世纪美国教学家欧德莱最先使用的，它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加号斜过来写。“”是18世纪瑞士人哈纳创造的，它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个圆点分开。“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的，列科尔德认为世界上再也没有比这两条平行且相等的直线更相同的东西了，所以用来表示两数相等。17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的几何学中，第一次使用“”表示根号。17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“”表示相邻似，用“”表示全等。益思互动 为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的在关模型，如直尺，杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴(number axis)模型，数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象。 数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来。 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想数形结合思想。 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： 1运用数轴直观地表示有理数(rational number)；2运用数轴形旬地解释数相反数(opposite number)；3运用数轴准确地比较有理数的大小；4运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题。益思练场1的值是 （ ）A B C D2若，则下列不等式中，成立的是 （ ）A B CD3实数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的是（ ）A B C D4如图，在数轴上表示到原点的距离为个单位长度的点是（ ）A点D B点A C点A和点D D点B和点C5若，则等于 （ ）A0 B C D以上答案都不对6绝对值小于的整数有 （ ）A个 B个 C个 D个7若,则的值为（ ）A B C D8如果与1互为相反数，那么等于（ ）AB C D9实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A B C D益思精析类型一：绝对值的几何意义【例1】（1）数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离为，那么点B对应的数是 。（2）点A、B分别是数，在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到AB，且线段AB的中点对应的数是，则点A对应的数是 ，点A移动的距离是 。【变式1.1】将，按从小大的顺序排列，并用“”连接： .【变式1.2】把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。【变式1.3】2008年8月8日，第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在如图的数轴上表示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）。 A伦敦时间2008年8月8日11时 B巴黎时间2008年8月8日13时 C纽约时间2008年8月5时 D首尔时间2008年8月8日19时【例2】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数、，A、B两点之间的距离表示为|AB |,当A、B两点中有一点在原点时，不防设点A在原点，如图，|AB|=|OB|；当A、B两点都不在原点时：（1）如图上，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|OA|；（2）如图，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|OA|；（3）如图，点A、B都在原点两边|AB|=|OA|+|OB.综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|.回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示和的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么为 ；（3当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 。【变式2.1】如下图，已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数、，那么表示 （ ）A. A、B两点间的距离 B. A、C两点间的距离C. A、B两点到原点的距离之和 D. A、C两点到原点的距离之和 【变式2.2】求的最小值。 【变式2.3】若，则 。【变式2.4】设，则下面四个结论中正确的是（ ）。A没有最小值 B只有一个使取最小值C有有限个使取最小值 D有无限多个使取最小值类型二：绝对值的应用【例3】李明家在一条东西走向的街道上，他家东面100米处有一家超市A，西面600米处有一家医院B，李明在东面离家800米的学校C上学，若李明家为原点，向东为正方向，以100米为单位长度，画出数轴。（1）超市A、医院B、学校C各表示的数是多少？（2）超市A到医院B的路程是多少？（3）一天李明从家去医院打针，然后赶回学校上课，最后回家，李明这天所走的路程是多少？【变式3.1】按照要求在数轴上完成点的移动，并说明移动后的点所表示的数。（1）点A在数轴上表示的数是，将点A向右移动个单位长度，点S表示的新数是多少？如图（1），数轴上A、B两点所表示的有理数的和是 。实数、在数轴上的位置如图（2）所示，则下列结论正确的是（ ）A B C D【变式3.2】在数轴上和有理数、对应的点的位置如下图所示。有下面四个结论：;；，其中，正确的结论有（ ）。A4个B3个 C2个D1个【变式3.3】已知、为理数，且将四个数按由小到大的顺序排列是 。【变式3.4】已知两数、，如果比大，试判断与的大小。类型三：数轴与绝对值【例4】已知，且，那么 。【变式4.1】已知，求的值。【变式4.2】已知，求的值。【变式4.3】已知：，在数轴上给出关于、的四种情况如图所示，则成立的是 ，（写出所有正确的序号）【例5】电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步由向左跳一个单位，第二步由向右跳两个单位到，第三步由向左跳三个单位到，第四步由向右跳四个单位到按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数。【变式5】（1）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？（2）如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？（3）当流水线上有个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？益思拓展A夯实基础1（1）如果数轴上一点A所表示的数是3，那么与点A相距4个单位的点所表示的数是 。 （2）数轴上，在表示到的点之间，表示整数的点共有 个，在表示到的点之间，表示整数的点总共有 个。2如下图，数轴上A、B两点分别对应实数、，则下列结论正确的是 （ ）A B C D 3、在数轴上的位置如图所示，把、按照从小到大的顺序排列，并用“”连接起来。4文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边处，玩具店在书店东边100处，小明从书店沿街向东走了，接着又向东走了，此时小明的位置在（ ）A文具店 B玩具店 C文具店西边 D玩具店东边B能力拓展5试求的最小值。6若，则使成立的的取值范围是 。 7父亲是儿子现在年龄时，儿子已经10岁了，当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子相差几岁？8 .已知数轴上有A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是 。C综合创新9已知，比较与的大小。10已知，则 。11若，则使成立的的取值范围是 。12、在某寄宿制中学，有十位同学要去洗衣服，而洗衣服的地方只有一个水龙头，每次只能让一位同学洗衣服，其他同学得等待，这十位同学洗衣服所花的时间分别是现在要你帮他们安排一下洗衣服的顺序，使得他们等待的时间总和最小，怎样安排？最少等待时间为多少？13在数轴上，N点与原点的距离是N点与30所对应的点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？第三讲 绝对值益思对话马丁加德纳(Martin Gardner,1914-)，当代美国作家，科学美国人杂志的主编，他以撰写趣味数学文章而闻名于世，有“数学园丁”、“数学传教士”的美称，科学美国人杂志数学游戏专栏20余年的连载文章，使他成为“数学神庙的守护神”，著有数学游戏、啊哈！灵机一动等。茶杯与硬币这是一道如今称为“急转弯”的问题，它自身的喻义已打破人们传统的思维，而向着诡辨方向发展，这也许正是灵机一动！【题】如图，四枚硬币放在三只玻璃杯中，使每只玻璃杯中的硬币数都是奇数。【解】奇数个奇数和仍是奇数，这样的问题似乎无解，但请你注意下面的解法将其中两只玻璃杯摞起来，就找到答案了。（注：此题还有其他解答，读者不妨一试）。益思互动1在数轴上，数对应的点与原点的距离称为数的绝对值，记作。2任何一个数的绝对值都是非负数，也就是说，任何一个数的绝对值都不小于零，即。3任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且。4一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.5 两个负数，绝对值大的反而小；两个数，若绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数。 6常用公式：； 7 在数轴上，的意义是数对应的点与原点的距离；的意义是数对应的点与数的对应点之间的距离。益思练场1在下列语句：是相反数；与互为相反数；是的相反数；和互为相反数；0的相反数是0，其中正确的是 （ ）A B C D2一个数的相反数小于它本身，这个数是 （ ）A有理数B正数 C负数D零3若,b互为相反数，且，则有（ ）A B C D4在所有的有理数中，绝对值最小的是 。5在数轴上，与表示5的点的距离等于10的点有 个，它们表示的数分别是 。6当时， ；若，则为 。7化简的结果是 （ ）AB. CD益思精析类型一：去绝对值问题【例1】三个数、b、c在数轴上的对应的点如图所示，化简【变式1.1】化简：【变式1.2】已知、在数轴上表示的数如图年示，请化简：类型二：求值问题【例2】已知,且，则为 。【变式2】已知的值等于 。类型三：非负数问题【例3】若与互为相反数，求的值。【变式3】如果|，则方程的解是 。类型四：分类讨论问题【例4】已知、满足，且，则代数式的值为 。【变式4】若，则不能等于，这四个数中的 （ ）A B C D 类型五：几何意义问题【例5】具有非负性，其最小值为了，试探究为有理数时，有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。【变式5】代数式的最小值为 。【变式5.1】试求的最小值。类型六：条件绝对值问题【6】已知、是有理数，且，那么 。【变式6】已知,且，那么 。益思拓展A夯实基础1的值是 （ ）AB CD2数是 （ ）A正数B负数 C非正数D零3若为有理数，则下列说法中，正确的是 （ ）A的值是正数 B的值是负数C的值是正数 D的值小于1B能力拓展4使代数式的值为正整数的值是（ ）A正数B负数 C非零的数D不存在的5 的相反数是最大的负数，的绝对值是最小的正整数，则 。6已知、为有理数，且，求的值。7 如果，那么的绝对值等于 。C综合创新8若，则下列不等式中，成立是（ ）AB CD9已知，且，求的值。10已知、都是负数，并且，则是 （ ）A负数B非负数 C正数D非正数11若，则 .12试求的值。13已知为四个连续的正整数，在它们之间添加上“+”，“”符号，并依次计算，所得可能的最小非负数是多少？若只能用“”和绝对值，但不需要依次（自然顺序），则所得的最小非负数是多少？第四讲 有理数及其运算益思对话数学中的两大“诺贝尔奖”大家都知道诺贝尔奖中没有数学这个科学之王的份额，这无疑使在数学中取得成就的人失去了受表彰的机会，正是在这种情况下，世界上先后树起了两个数学大奖：一个是四年颁发一次的菲尔兹奖，另一个是每年颁发的沃尔夫大奖，这两个奖项被人们称为“数学中的诺贝尔奖”。菲尔兹奖菲尔兹奖是用已故加拿大数学家、教育学家J.C菲尔兹的姓氏命名的，为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，他第一个在加拿大推进研究生教育，并全力筹备和主持了1924年在多伦多召开的第届国际数学家大会，这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家家大会，正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，当他得知这次大会的经费有结余时，就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头，他为此积极奔走于欧美各国谋求广泛支持，并打算于1932年在苏黎民召开的第九届国际数学家大会上亲自提出建议，但不幸的是未等到大会开幕他就去世了，他立下遗嘱，把自己留下的遗产加到上述剩余的经费中，第九届国际数学家大会立即接受了这一建议，为赞菲尔兹的远见卓识，组织才能和他为促进数学事业的国际交流的所表现的无私奉献的伟大精神，大会一致同意将该奖命为“菲尔兹奖”。它的产生很特点：数学界的国际权威学术团体国际数学联合会主持，从全世界第一流40岁以下的数学家中评选；在每隔4年召开一次的国际数学大会上隆重颁奖，开始时每次获奖者只有2人，1965年，得到一位不希望透露姓名的人的赞助后而从1966年起获奖者增加到24人，因此获奖的机会比诺贝尔和沃尔夫奖还要少；获奖者是当时最著名的、成果最卓著的数学家。沃尔夫奖1976年1月1日，沃尔夫及其家族捐献1000万美元成立了沃尔夫基础会，其宗旨主要是为了促进全世界科学艺术的发展。沃尔夫1897年生于德国，其父是德车汉诺威城的一位五金商人，也是该城犹太社会的名流，沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，第一次世界大战前，他移居古巴，他用近20年的时间，做了大量实验，历近艰辛，成功地发明了一种熔炼废渣回收铁的方法，从而成为万百富翁，19611973年，他曾任古巴驻以色列大使，他沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人，活尔夫于1981年逝世。沃尔夫基金会的理事会主席由以色列政府官员担任，评奖委员会由世界著名的科学家组成，以前沃尔夫基金会只设数学、物理、化学、医学、农业5个奖，后增设艺术奖，于是现在有6个奖，1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，由于沃尔夫数学关具有终身成就奖的性质，所以获奖的数学家都是蜚声数坛的当代数大师，他们的成就在相当程度上代表了当时数学的水平和进展。一、有理数的运算归根结底是运用符号法则，确定结果的符号后再运算各项的绝对值是基本法，在有理数的运算过程中，虽然掌握运算法则是关键，但是由于题目的种类繁多，特点不一，别是有些数学竞赛题，往往数值大，项数多，次数高，显得很复杂，其实大多数有隐含的某种规律，因此运算技巧不可忽视，而技巧来自细心的观察和大胆的探索，有理数满足的运算律：加法交换律：；加法结合律：；乘法交换律：；乘法结合律：；乘法对加法的分配律：。二、有理数的运算是代数的重点，也是难点。对于数学这门基础性很强的学科，学会巧算，有利于打牢基础，提高代数解题能力，培养我们思维的灵活性和敏捷性。有理数的计算常用的技巧与方法有：1拼凑法；（1）一般把同号的数加在一起；（2）遇到分数可反分母相同的结合起来相加；（3）遇到小数应当把当中相加得整数的小数结合起来；（4）代数和为零的数加在一起；（5）遇到因数是分数时，可把便于约分的因数结合在一起；（6）遇到因数是小数时，可把相乘得整数的因数结合在一起。2活用分配律：（1）遇到个分母不同的分数的代数和乘以一个数时，若通分较繁，可分配律简化计算；（2）遇到个积的代数和，而每个积里恰好有相同的因数，可逆用分配律使计算简化。3数列求和。益思练场1写成省略加号和括号的形式后为的式子是 （ ）A B C D2有理数、在数轴对应的位置如图1-5所示，则的值 （ ）A 大于0 B小于0 C等于0 D大于3一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各路路程分别为：cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm。（1）这只蚂蚁最后是否回到出发点M？（2）蚂蚁离出发点M最远时是多少？ 4若干个不等于0的有理数相乘，积的符号 （ ）A由因数的个数决定 B由正因数的个数决定C由负因数的个数决定 D由负因数和正因数的个数决定5若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数 （ ）A都是正数 B是符号相同不为0的数C都是负数 D都是非负数6计算： 益思精析类型一：加减运算问题【例1】 【变式1】 类型二：乘除运算问题 【例2】计算： 【变式2】 类型三：裂项相消问题【例3】 【变式3.1】 【变式3.2】类型四：数列求和问题【例4】 【变式4.1】 【变式4.2】 （为自然数）类型五：整体相除问题【例5】 【变式5】 类型六：乘法运算问题【例6】 【变式6.1】 。【变式6.2】计算的结果为 。益思拓展A夯实基础1甲数减去乙数的差与甲数比较，必为（ ）A差一定小于甲数 B差不能大于甲数C差一定大于甲数 D差的大小取决于乙是什么样的数2B能力拓展 6. 8.用简便方法计算 .10. .C.综合创新 .12.已知、互为相反数，、互为倒数，试求的值。 14试求的值。第2章 代数式第五讲 从数到式益思对话G波利亚（Georgepolya,18871985），著名美国数学家和数学教育家1976年当选美国国家科学院院士，其烽学研究涉及复变函数、概率论、数论、教学分析、组合数学等众多领域长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，它们被译成多种文字，广为流传。算式的规律一次数学课上，俄国数学家拉钦斯基讲完正课内容，看看还有些时间，便即兴在黑板上写了下面一串算式：1 =133+5 =237+9+11 =3213+15+17+19 =53“谁能看出这些算式里有些什么规律？”拉钦斯基写完算式便向他的学生发问，不一会儿，学生们一一讲出自己的发现。“非常棒！”拉氏称赞道：“规律正是如此，请问，谁能说出它的道理？”教室里鸦雀无声，（你也想试一试吗？）“第k个等式的起止项谁能说说？”拉氏又问道。好一阵后，一个男孩举起了手说：“它从第个奇数起，到个奇数止。”“很好！”拉氏鼓励道，接着他又补充说：“，而，这样第个等式的左边为 。”说着他在黑板上写道：“利用上面一串等式，我们还可以推导出的求和公式，这个留给大家去考虑。”益思互动“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”，著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不同词句而只用符号所构成的语言。”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式(algebra ex-pression)，求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。益思练场1若“！”是一种数学运算符号，并用1！=1，2！=21，=321，4！=4321，则的值为 （ ）A B99！ C9900D2！2某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元，如果某人打该长途电话被收费元，则此人打长途电话的时间是 （ ）A分钟B分钟 C分钟D分钟 3某商品原价为元，春节促销，降价20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高 （ ）A15% B20% C25%D30%4 针对药品市场价格不规范的现象，药监部门对部分药品的价格进行了调整，已知某药品原价为，经过调整后，药价降低了60%，则该药品调整后的价格为 元。5 按程序平方进行运算，结果用的代数式表示是 。（填人运算结果的最简形式）6已知是整数，现在有两个代数式：（1）；（2），其中，能表示“任意奇数”的 （ ）A只有（1） B只有（2） C有（1）和（2） D一个也没有益思精析类型一：定义新运算【例1】规定，试计算的值。【变式1.1】在数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，,当时，,则当时，（）()的值为 (“”和“”仍为有理数运算中的乘号和减号)。【变式1.2】现规定一种新的运算“*”：=，如=，则 （ ）AB8 CD类型二：用字母表示数量关系【例2】某商店进了一批奥运“福娃”小头饰，每件“福娃”小头饰的进价为元，若要获利20%，则每件“福娃”小头饰的零售价应定为 （ ）A(元) B（元）C（元） D（元） 【变式2.1】浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是( ) A. B. C. D.【变式2.2】某商场经销一批电视机，进价为每台元，原零售价比进价高%，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%，调整后的零售价为每台( )元。A B C D类型三：算式的规律【例3】有一组是单项式：请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为 。【变式3.1】瑞士中学教师巴尔未成功从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请按这种规律写出第七个数据是 。【变式3.2】已知一列数：将这列数排成下列形式。第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 按照上述规律排下去，那么第10行从左边第5个数等于 。类型四：密码学中的规律【例4】为确保信息安全，信息需加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文对应的密文为，例如，明文，对应的密文是，当接收方收到密文是时，解密得到的明文是（ ）A B C1 D【变式4.1】在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号.字母abcdefghijklm序号12345678910111213序号nopqrstuvwxyz序号14151617181920212223242526 按上述规定，将明码“love”译成密码是 （ ） AgawqBshxc CsdriDlove【变式4.2】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文、对应的密文为，例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18。如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为 （ ）A4,5,6B6,7,2 C2,6,7D7,2,6类型五：数列中的规律【例5】已知 .【变式5.1】已知【变式5.2】观察右图寻找规律，在“？”处填上的数字是 （ ）A128B136C162D188类型六：信息学中的规律【例6】下表是表示数字输入的计算程序：计算当时，输出的结果是（ ） A B CD【变式6.1】按如下图所示的程序运算，叵开始输入的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第二次得到的结果为12，请你探索第2009交得到的结果为 。【变式6.2】线路出下列程序且已知当输入的的值为1时，输出值为1；输入的值为时，输出值为，则当输入的值为时，输出值为 。益思拓展A夯实基础1如果是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是 （ ）AB CD2图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的，设为第个（为正整数）正方形中三角形的个数，则下列关系式中正确的是 （ ）A B C D3有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克元和元，根据柜台组调查，将两种粮果按甲种糖果千克与乙种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果，现面糖果价格有了调整，甲种糖果单价上涨，乙种糖果单价下跌，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么等于 （ ）A B C D4.给出依次排列的一列数这一列数的第项是 。B能力拓展5数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拔琴弦发出声音高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐，例如，三根弦长度之比是15:12:10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拔，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组 。6观察下列等式：，请你把发现的规律用字母表示出来， .7有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数，例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数。8对于数和，规定运算如下：=，请比较 5.12.3 2.35.1C综合创新9计算机中常用的十六进制是适16进1的记数制，采用数字09和字母AF共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的36=16+10，可用十六进制表示1A；在十六进制中，E+D=1B等，由上可知，在十六进制中，求2F的值。10根据如图1-8所示的程序计算，若输入的值为1,则输入出的值为 。11从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9+32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52。（1）请你推测出，从1开始，个连续的奇数相加，它们的和的公式是什么？（2）计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；11+13+15+17+19+21+23+25。（3）已知，求整数的值。（4）请你提出一个类似的问题，并探索其中的规律。12先阅读下面的材料，再解答后面的问题。现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，N，M这26个字母依次对应1，2，3，25，26这26个自然数，（见下表）给出一个变换公式：将明文转换成密文，如即A变为S；将密文转换成明文，如，即X变为P，133（13-8）-1=14，即D变为F。（1）按上述方法将明文“NEI”为密文；（2）按上述方法将密文“DWN”还原成明文。13设(为大于0的自然数)。（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）。第六讲 代数式初步益思对话德国数学家大卫希尔伯特（1862-1943）是20世纪最伟大的数学家之一，他的贡献是巨大而又多方面的，研究领域涉及代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、无穷维空间、物理学和数学基础等，他的几何基础是近公代理化方法的代表作，且由此推动形成了“教学公里化学派”。财产问题牛顿所在的乡村有一个百货商，他在一次年终结算后发现自己的财产增加了一倍，细细想来，三年的经营中，除掉每年100镑用于开销外，他每年可嫌到当年财产1/3，他的最初财产数却对人秘而不宣。当他把经营情况告诉前来购物的小牛顿后，牛顿默默算了一阵后说：“你家最初财产是1480镑”。商人听后愕然不解：“你是如何猜到的？”牛顿是用解方程得到的，设商人的最初财产为镑。第一年后财产：第二年财产：第三年财产：这样有方程益思互动一、整式1单项式描述性定义数与字母的积的代数式是单项式2单项式中的系数和次数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数单项中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数3多项式的定义几个单项式的和就是多项式多项式的项：多项式中，每个单项式是多项式的项。多项的次数：多项式中，多项式的次数是次数最高的项的次数。4多项式的排列把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列。二、同类项1同类项定义同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。2合并同类项法则合并同类项法则：同类的项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。三、去括号与添括号1去括号法则括号前是“+”，把括号的它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都改变符号。2添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，则括到括号里的各项都不改变符号。添括号后，括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都改变符号。四、整式的加减1直接的整式加减问题注意：整式加减实质就是合并同类项，在运算中，如果遇到括号，就要运用去括号法则（或分配律），去掉括号再合并同类项，只要算式中没有同类项，就是运算结果。2间接的整式加减问题几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，其一般步骤是：（1）根据题意列出代数式；（2）用加减号连接成整式加减；（3）去括号及合并同类项
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