高中数学 课时达标检测（二十）空间向量与空间角、距离 新人教A版选修2-1

课时达标检测（二十） 空间向量与空间角、距离一、选择题1已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3C. D.解析：选D点P到平面的距离d.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C D.解析：选A建立如图空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90，其余弦值为0.3已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，1,0)，D(1，1,0)，S(0,0，)，E，(1，1，)，cos，AE，SD所成的角的余弦值为.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B.C D.解析：选B建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0，2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|.5正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：选B建立空间直角坐标系如图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.二、填空题6直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin |cos |.答案：7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，_.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则C(0，2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2，2,1)可知(2，2,1)，(2,2，1)，22(2)21(1)1，|3，|3，cos，sin，.答案：8.如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O 是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：三、解答题9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0，0，h)，C，0，D，0，B(0,2,0)，(0,0，h)，.设平面PAC的一个法向量为n1(x，y，z)，则即令xh，得n1(h，h，0)同理得平面PDC的一个法向量n2.cosn1，n2，h.又可求得平面PBC的一个法向量n3(3，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d.