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章末综合测评(一)计数原理(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1将(xq)(xq1)(xq2)(x19)写成A的形式是_【解析】由式子的形式可知(xq)为最大因子，共有20q个因式连乘，故(xq)(xq1)(xq2)(x19)A.【答案】A2(a1a2)(b1b2b3)(c1c2c3c4)的展开式中有_项【解析】要得到项数分3步：第1步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第2步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第3步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法由分步计数原理知共有23424项【答案】243某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同的发送方法有_种【解析】每封电子邮件都有3种发送方式，共有35种不同的发送方法【答案】3546把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法共有_种【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC24.【答案】245已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为_【解析】T7C(2x3)n66C2n6x3n24.由3n240，得n8.【答案】86在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为_【解析】x(1x)6的展开式中x3项的系数与(1x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C15.【答案】157若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a_. 【导学号：29440033】【解析】展开式中含的项是T6C(2x)25C22a5x3，故含的项的系数是C22a584，解得a1.【答案】18若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为_(填序号)x4，n3；x4，n4；x5，n4；x6，n5.【解析】CxCx2Cxn(1x)n1，结合可知，仅有符合题意【答案】95名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有_种(用数字作答)【解析】(1)当有1名老队员时，其排法有CCA36(种)；(2)当有2名老队员时，其排法有CCCA12(种)，共有361248(种)【答案】4810(2015全国卷改编)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_【解析】法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.【答案】3011一条街上有8盏灯，为节约用电，晚上只开5盏灯，且规定相邻的灯不能都不亮，两头的灯都要亮，那么不同的亮灯方案有_种. 【解析】在亮着的5盏灯间有4个空档，选3个空档放3个不亮的灯，有C种方法【答案】412从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为_【解析】在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，故共有C1258个不同的四面体【答案】5813某省高校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为_【解析】设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法，这时共有CCA种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法综合(1)(2)，共有CCACA180(种)参加方法【答案】180种14将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答)【解析】第一类：a12时，a34，a56或a35，a56，共有2A12(种)第二类：a13时，a34，a56或a35，a56，共有2A12(种)第三类：a14时，a35，a56，共有A6(种)所以总的排列方法有1212630(种)【答案】30二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有多少种？ 【导学号：29440034】【解】就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C5种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C10种根据分类计数原理可知，满足题意的放法种数是5101025.16(本小题满分14分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名；(2)队长至少有1人参加；(3)至少有1名女运动员；(4)既要有队长，又要有女运动员【解】(1)CC120种不同的选派方法(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共CCC196种不同的选派方法(3)全部选法中排除无女运动员的情况：共CC204种不同的选法(4)分三类：仅女队长：C；仅男队长：CC；两名队长：C；共CCCC191种不同的选派方法17(本小题满分14分)已知试求x，n的值【解】CCC，nx2x或x2x(舍去)，n3x.由CC，得，整理得3(x1)！(nx1)！11(x1)！(nx1)！，3(nx1)(nx)11(x1)x.将n3x代入，整理得6(2x1)11(x1)，x5，n3x15.18(本小题满分16分)利用二项式定理证明：49n16n1(nN*)能被16整除【证明】49n16n1(481)n16n1C48nC48n1C48C16n116(C348n1C348n2C3n)所以49n16n1能被16整除19(本小题满分16分)设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，求下列各式的值：(1)a0a1a2a10；(2)a6.【解】(1)令x1，得a0a1a2a10(21)101.(2)a6即为含x6项的系数，Tr1C(2x)10r(1)rC(1)r210rx10r，所以当r4时，T5C(1)426x613 440x6，即a613 440.20(本小题满分16分)设数列an是等比数列，a1CA，公比q是4的展开式中的第二项(1)用n，x表示通项an与前n项和Sn；(2)若AnCS1CS2CSn，用n，x表示An.【解】(1)因为a1CA，所以即所以m3，所以a11.又由4知T2Cx41x，所以anxn1，Sn(2)当x1时，Snn，AnC2C3CnC.又因为AnnC(n1)C(n2)CC0C，由CC，得2Ann(CCCC)，所以Ann2n1.当x1时，Sn，AnCCCC(CCCC)(xCx2Cx3CxnC)2n1(1xCx2CxnC1)2n(1x)n所以An
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