高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线的简单性质课后演练提升 北师大版选修1-1

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2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质课后演练提升 北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分,共20分)1顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程()Ax23yBy26xCx212yDx26y解析:由顶点与焦点的距离等于3,所以3,p6.又因为对称轴是y轴,所以选C.答案:C2设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,抛物线上的点(k,2)与F的距离为4,则k的值为()A4B2C4或4D2或2解析:由题意知抛物线方程可设为x22py(p0),则24,p4,x28y,将(k,2)代入得k4.答案:C3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1x26,那么|AB|等于()A10B8C6D4解析:因AB线段过焦点F,则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11,|BF|x21,故|AB|x1x228.答案:B4以抛物线y22px(p0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是()A相交B相离C相切D不确定解析:如图,取AF中点C,作CNy轴,AMy轴,可得|CN|AF|.故选C.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5抛物线y216x上一点P到x轴的距离为12,则点P与焦点F间的距离|PF|_.解析:由于点P到x轴的距离为12,可知点P的纵坐标为12,点P的横坐标x9.由抛物线的定义知|PF|x9413.答案:136过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p_.解析:设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1x2p8.设直线AB的方程为yx,联立y22px,得x23px0,x1x23p.3pp8,即p2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)7正三角形AOB的两个顶点在抛物线y22px(p0)上若SOAB36,试确定抛物线的方程解析:由于正AOB的A、B两点在抛物线y22px上,依对称性知AOX30,其中X为线段AB与x轴的交点设OA所在直线方程为yx.方法一:联立得A(6p,2p),B(6p,2p)则|AB|4p.由SAOB(4p)212p236,得p23,p.故抛物线的方程为y22x.方法二:设|OA|a,由SAOBa236知a12.即|OA|12,得x6,y(6)6.由于A(x,y)在抛物线y22px(p0)上,所以A(6,6)由点A(6,6)在y22px上得p.故抛物线的方程为y22x.8.已知直线l经过拋物线y24x的焦点F,且与拋物线相交于A、B两点(1)若|AF|4,求点A的坐标;(2)求线段AB的长的最小值解析:拋物线y24x的焦点F(1,0),准线为x1.(1)设A(x0,y0),则|AF|x01|4,x03,y02,A(3,2)(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|4,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1),由,得k2x2(2k24)xk20,易知k0,令A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,|AB|x1x2244,综上所述,|AB|4,即线段AB长的最小值为4.9(10分)给定抛物线C:y24x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点(1)设直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)若|FA|2|BF|,求直线l的方程解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),l:yx1,联立,消去y得x26x10,x03,y0x012,故圆心M(3,2),半径4,从而以AB为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)显然直线l的斜率存在,故可设直线l:yk(x1),联立,消去y得k2x2(2k24)xk20,则x1x21,故x1.又|FA|2|BF|,2,则x112(1x2)由得x2(x21舍去),所以B,得直线l的斜率为kkBF2,直线l的方程为y2(x1)
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