高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨高效整合 新人教A版选修4-1

2016-2017学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨高效整合 新人教A版选修4-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面平面，则平面内任意一条直线m平面；若平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，则直线n平面；若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心其中正确命题的个数为()A1个B2个C3个 D4个解析：互相平行的两条直线在同一平面内的射影可能是同一条直线，错；只有当时，此命题才成立，错；、正确，故正确命题的个数为2个答案：B2下列说法不正确的是()A圆柱面的母线与轴线平行B圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面(垂直于母线的截面)C圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：A显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，B正确；由公式ecos 知，C正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D错答案：D3一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为()A BC D解析：如图所示为截面的轴面，则AB8，SB6，SA10，则SBA，cosASB，cosBSPcosASB.cosSPBsinBSP.e.答案：C4已知平面上直线l的方向向量e，点O(0,0)和A(1，2)在l上的正射影分别是O和A，且e，则()A BC2 D2解析：(1，2)，ee2e，2.答案：D5两条相交直线在一个平面内的平行射影一定是()A相交直线 B一条直线C平行直线 D无法确定解析：如下图所示，图中射影为两相交直线，图中射影为一条直线，选D答案：D6圆锥的顶角为60，截面与母线所成的角为60，则截面所截得的截线是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：由题意知截面与圆锥的轴线成90角，即截面是圆锥的正截面，故截线为圆答案：A7如右图，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A10 cm B cmC5 cm D5 cm解析：如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离设圆柱的底面半径为r，则r.底面圆周长l2r5，AB.ADBC5，AC(cm)答案：B8若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r3的O，该圆柱的斜截面与轴线成60角，则截线椭圆的离心率e()A BC D解析：依题意，在椭圆中，a2，br3，c，e.答案：C9如图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为()A20 B16C14 D8解析：由已知圆柱底面半径r2.即直径为4.设截面与圆柱母线成角，则sin ，cos .几何体的最长母线长为22acos 255.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r2，高为7的圆柱，其体积为V22728.所求几何体的体积为V14.答案：C10已知平面平面，a，A，B，AB2 cm，直线AB与平面所成角为30，与平面所成角为45，则两点A、B在交线a上的正射影的距离是()A BC1 D解析：如右图，作BDa于D，ACa于C，连接AD、BC，则D、C分别为B、A在直线a上的正射影平面，BD，AC，BAD30，ABC45，在RtBAD中，AB2，BD2sin30 1.在RtABC中，BCABcos 452.在RtBDC中，DC1.故选C答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面的半径为 _.解析：由2a6，即a3，又ecos 45，故bcea3，即为圆柱面的半径答案：12已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是 _.解析：圆锥轴截面为等腰直角三角形，则轴线与母线成45角，又3045，故截线为双曲线答案：双曲线13一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e _.解析：依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长2a12，a6.又br4，c2.椭圆的离心率e.答案：14在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的平行射影一定是互相平行的直线；若平面，则平面内任意一条直线m；若平面m，n，nm，则n；若点P到ABC三条边的距离相等，则点P在ABC内部的正射影是该三角形的内心其中命题的序号是 (写出你认为所有正确命题的序号)解析：错误两条平行直线的射影有可能是一条直线；正确，m，m与无公共点，m.错误只有时，才成立，否则n与不一定垂直正确依题意点P在ABC内部的正射影P到ABC的三边的距离也相等，故P为ABC的内心答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)已知圆C：(x3)2y2100及点A(3,0)，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程解析：l是PA的垂直平分线，|PQ|AQ|，|AQ|CQ|PQ|CQ|CP|10，Q点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a10，c3，即a5，b4.故所求的椭圆方程为1.16(12分)如图，ABC是边长为2的正三角形，BC，A、B、C在平面的同侧，它们在内的正射影分别是A、B、C，若ABC是直角三角形，BC到的距离为5.求点A到的距离解析：设AAx(即为点A到的距离)在直角梯形AACC中，AC2AC2(CCAA)2，即AC24(5x)2.同理AB24(5x)2.由已知，ABC是直角三角形，BAC90.AC2AB2BC2.24(5x)222.解得x5.此为点A到平面的距离17(12分)已知一平面与圆柱的母线成45角，Dandelin双球上的最短距离为2，求截线椭圆的长轴、短轴长和离心率解析：如右图为圆柱面的轴截面作O2AO1A于A，且O1A与截面平行设Dandelin双球的球心分别为O1、O2，半径为r，则O1O22r2，sin ，又45，解得r1.椭圆的长轴长：2(2)短轴长：2(1)，离心率：ecos 45.18(14分)如图，圆锥侧面展开图扇形的中心角为，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解析：设O的半径为R，母线VAl，则侧面展开图的中心角为，圆锥的半顶角.连结OE，O、E分别是AB、VB的中点，OEVA，VOEAVO.又ABCD，VOCD，CD平面VAB，平面CDE平面VAB，即平面VAB为截面CDE的轴面，VOE为截面与轴线所夹的角，即为.又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线.