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第2课时运用平均值不等式求最大(小)值1能利用平均值不等式求简单的最大(小)值(重点)2掌握建立不等式模型，解决实际问题中的最值(难点)基础初探教材整理两个重要结论阅读教材P10P14，完成下列问题1已知x，y为正数，xyS，xyP，则(1)如果P是定值，那么当且仅当xy时，S取得最小值2；(2)如果S是定值，那么当且仅当xy时，P取得最大值.2若a，b，c均为正数，(1)如果abc是定值S，那么abc时，积abc有最大值；(2)如果积abc是定值P，那么当abc时， 和abc有最小值填空：(1)若x0时，x的最小值是_(2)当取得最小值时，x取_【解析】(1)x0时，x2，故最小值为2.(2)2，这时x0.【答案】(1)2(2)0质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用平均值不等式求最大(小)值设x，y，z均是正数，x2y3z0，则的最小值为_【精彩点拨】由条件消去y，然后利用平均值不等式求最小值【自主解答】由x2y3z0，得y，3.当且仅当xy3z时，取得最小值3.【答案】3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题.再练一题1函数y(x1)的最大值是_【解析】y.x1，x10.因此x12，x1332.当且仅当x1，x1时等号成立00，y0，且1，求xy的最小值【精彩点拨】本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值【自主解答】法一：x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.法二：由1，得(x1)(y9)9(定值)，可知x1，y9，而xy(x1)(y9)1021016.所以当且仅当x1y93，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先，看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.,切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以.再练一题2已知x0，y0，且x2y1，求的最小值. 【导学号：94910013】【解】x，y(0，)，x2y1，1232.当，即xy，也就是y1，x1时等号成立，故的最小值为32.探究共研型用平均值不等式求解应用题探究解不等式实际应用题的解题思路是怎样的？【提示】解不等式实际应用题的解题思路如图131，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？图131【精彩点拨】【自主解答】法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab9 000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0.广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.当且仅当25a40b时等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75.即当a120，b75时，S取得最小值24 500 cm2.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.法二：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25，两栏的面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyxx25x，整理得S25(x20)18 500，因为x200，所以S218 50024 500.当且仅当25(x20)时等号成立，此时有(x20)214 400(x20)，解得x140，代入y25，得y175，即当x140，y175时，S取得最小值24 500 cm2，故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.利用基本不等式解决实际问题的一般思路是：,(1)在理解题意的基础上，合理设出变量，找出实际问题的数学模型建立函数关系式，并求出函数定义域；(2)由建立的函数关系式转化为求函数的最大值或最小值问题；(3)在函数定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)结合实际问题，求出实际问题的解.再练一题3某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(xN)，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由【解】设每批购买x台电视机，共需运输和保管的总费用为y元由题意可得保管费k2 000x(k0)，总运输费为400.因为43 6004009k4002 000，所以k.所以y2 000x400100100224 000.当且仅当x，即x120时等号成立所以只要安排每批购买120台电视机时，可以使资金够用构建体系1已知0x1，则x(1x)取最大值时x的值为()A.B.C.D【解析】0x0时，x12，f(x).当且仅当x1时，等号成立，f(x)max.【答案】B3已知t0，则函数y的最小值为_【解析】t0，yt4242.【答案】24设x，yR，且xy0，则的最小值为_. 【导学号：94910014】【解析】54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立【答案】95求函数yx2(15x)的最大值【解】yx2xx.0x，2x0，y.当且仅当x2x，即x时，上式取“”号故ymax.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若x，y是正数，则(xy)的最小值为()A6B9C12D15【解析】(xy)59，故选B.【答案】B2已知x，y为正数，且x4y1，则xy的最大值为()A.BC.D【解析】x，y0，xy(x4y)2，故选C.【答案】C3已知x1，y1，且lg xlg y4，那么lg xlg y的最大值是()A2B.C.D4【解析】x1，y1，lg x0，lg y0，2，lg xlg y4.【答案】D4设x，y为正数，且xy1，则使a恒成立的a的最小值是()A.BC2D2【解析】()2121xy2，故，从而a必须不小于.【答案】B5如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是()A.BC.D【解析】l4r2h，即2rh，Vr2h.当且仅当rh时等号成立【答案】A二、填空题6设x0，则y2x的最大值是_【解析】x0，x24，y2x242，当且仅当x，即x2时，y取最大值为2.【答案】27已知x，y大于0，且满足1，则xy的最大值为_【解析】x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号【答案】38已知x，y0，xy1，则的最小值为_. 【导学号：94910015】【解析】由x0，y0，xy1，得xy224.当且仅当xy时取等号【答案】4三、解答题9已知x，y，a，b均为正数，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，1，xy的最小值为18，求a，b.【解】xy0，a0，b0且1，xy(xy)abab2ab2()2.当且仅当时取等号，此时(xy)min()218.即ab218.又ab10，联立解得或10经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】(1)依题意y，当且仅当v，即v40时等号成立ymax11.1(千辆/小时)当v40千米/小时时，车流量最大，约为11.1千辆/小时(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0.解得25v0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0B1C2D4【解析】依题意abxy，xycd，又x0，y0，24.当且仅当xy时，等号成立的最小值为4.【答案】D2对于x，不等式16恒成立，则正数p的取值范围为()A(，9B(9,9C(，9D9，)【解析】令tsin2x，则cos2x1t.又x，t(0,1)不等式16可化为p(1t)，令y(1t)171729，当16t，即t时取等号，因此原不等式恒成立，只需p9.【答案】D3若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_. 【导学号：94910016】【解析】由x0，原不等式等价于0x3恒成立，所以min5，即05，解得a.当且仅当x即x1时，取等号【答案】a4某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图132所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.图132该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问：d为多少时，最大？【解】由题设知dAB，得tan .由ABADBD，得tan ，所以tan ()，当且仅当d，即d55时，上式取等号所以当d55时，tan ()最大因为0，则0，所以当d55时，最大故所求的d是55 m.
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