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5.2二项式系数的性质1了解杨辉三角2掌握二项式系数的性质(重点)3会用赋值法求系数和(难点)基础初探教材整理二项式系数的性质阅读教材P26P27“练习”以上部分，完成下列问题1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的_，即C_.【答案】(1)相等(2)和CC2二项式系数的性质对称性在(ab)n展开式中，与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即C_增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)CCCC_.(2)CCCCCC_【答案】等距离C(1)2n(2)2n11已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A11B10 C9D8【解析】只有第5项的二项式系数最大，15，n8.【答案】D2如图151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14个与第15个数的比为23.图151【解析】由已知，即，化简得，解得n34.【答案】34质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图152，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值图152【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1(2016南充高二检测)如图153所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_图153【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.【答案】46求展开式的系数和设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xR)(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC (2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20B0C1D20【解析】令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.【答案】D探究共研型二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图象中得到探究2计算，并说明你得到的结论【提示】.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C()3(3x2)290x6，T4C()2(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为Tr1C3r假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C (3x2)4405.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值【解】由5，得Tr1C5rr5rC，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454，所以a.构建体系1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3【解析】该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项【答案】C2已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64B32C63D31【解析】C2C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.【答案】B3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_. 【导学号：62690023】【解析】(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】Tr1C()8rr(1)rC2r.(1)设第r1项系数的绝对值最大则解得5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项所以T5C241 120x6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正则系数最大的项为T7C26x111 792x11.(4)系数最小的项为T6(1)5C251 792.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A第15项B第16项C第17项D第18项【解析】第6项的二项式系数为C，又CC，所以第16项符合条件【答案】B2(2016吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A5B20C10D40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n32，可得n5，Tr1Cx2(5r)xrCx103r，令103r1，解得r3，所以展开式中含x项的系数是C10，故选C.【答案】C3设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于()A2n B.C2n1 D.【解析】令x1，得3na0a1a2a2n1a2n，令x1，得1a0a1a2a2n1a2n，得3n12(a0a2a2n)，a0a2a2n.故选D.【答案】D4(2016信阳高二检测)已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为() 【导学号：62690024】A. B.C. D.【解析】aC70，设bC2r，则得5r6，所以bC26C26728，所以.故选A.【答案】A5在(x)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于()A23 015B23 014C23 014D23 008【解析】因为S，当x时，S23 014.【答案】B二、填空题6若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016(xR)，则的值为_【解析】令x0，得a01.令x，得a00，所以1.【答案】17若n是正整数，则7n7n1C7n2C7C除以9的余数是_【解析】7n7n1C7n2C7C(71)nC8n1(91)n1C9n(1)0C9n1(1)1C90(1)n1，n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】7或08在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图154所示那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为345.第0行 1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 14641第5行 15101051图154【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有且.化简得，联立解得k27，n62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数【答案】62三、解答题9已知(12xx2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14.(1)求a0a1a2a14；(2)求a1a3a5a13.【解】(1)令x1，则a0a1a2a1427128.(2)令x1，则a0a1a2a3a13a14(2)7128.得2(a1a3a13)256，所以a1a3a5a13128.10已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数【解】由CCC37，得1nn(n1)37，得n8.8的展开式共有9项，其中T5C4(2x)4x4，该项的二项式系数最大，系数为.能力提升1若(x)10a0a1xa2x2a10x10，则(a0a2a10)2(a1a3a9)2()A1B1C2D2【解析】令x1，得a0a1a2a10(1)10，令x1，得a0a1a2a3a10(1)10，故(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a3a10)(1)10(1)101.【答案】A2把通项公式为an2n1(nN)的数列an的各项排成如图155所示的三角形数阵记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()135791113151719图155A91B101C106D103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列bn，则b11，bnbn12(n1)，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12(n1)(n2)11n2n1，b1010210191，S(10,6)b102(61)101.【答案】B3(2016孝感高级中学期中)若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_【解析】令x2，得5a0，令x3，得0a0a1a2a3a11，所以a1a2a3a11a05.【答案】54已知f(x)(1x)m(12x)n(m，nN)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和. 【导学号：62690025】【解】(1)由已知C2C11，所以m2n11，x2的系数为C22C2n(n1)(11m)2.因为mN，所以m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，所以f(x)(1x)5(12x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.
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