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课时巩固过关练 五 不等式、线性规划(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016邯郸二模)已知ab0,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.1C.a1-bD.【解析】选C.因为abb2,1,a+b1,x,y满足约束条件且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为()A.2B.1+C.3D.2+【解题导引】根据m1,可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间上,由此判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此可得关于m的方程,从而求得m值.【解析】选B.因为m1,由约束条件作出可行域如图,直线y=mx与直线x+y=1交于,目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在处取得最大值,由题意可知=2,又因为m1,解得m=1+.4.(2016宿州一模)已知x,y满足时,z=+(ab0)的最大值为2,则a+b的最小值为()A.4+2B.4-2C.9D.8【解题导引】由约束条件作出可行域,结合z=+(ab0)的最大值为2可得+=1,然后利用基本不等式求最值.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立解得A(2,6),化目标函数z=+为y=-x+bz,由图可知,当直线y=-x+bz过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为+=2,即+=1.所以a+b=(a+b)=4+4+2=4+2.当且仅当即a=+1,b=3+时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016张掖一模)设不等式组表示的平面区域为M,若直线l:y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是_.【解题导引】作出不等式组对应的平面区域,根据直线和区域的关系即可得到结论.【解析】作出不等式组对应的平面区域,直线y=k(x+2)过定点D(-2,0),由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大,当经过点B时,直线斜率最小,由解得即A(1,3),此时k=1,由解得即B(1,1),此时k=,故k的取值范围是.答案:【加固训练】已知不等式组所表示的平面区域为D,直线l:y=3x+m不经过区域D,则实数m的取值范围是()A.-3,1B.-3,3C.(-,-3)(1,+)D.(-,-3)(3,+)【解析】选D.由题意作平面区域如图,当直线l过点A(1,0)时,m=-3;当直线l过点B(-1,0)时,m=3;结合图象可知,实数m的取值范围是(-,-3)(3,+).6.(2016廊坊一模)已知正数a,b,c满足b+ca,则+的最小值为_.【解题导引】先由题意变形可得+=+-=+-,再由基本不等式可得到结果.【解析】因为正数a,b,c满足b+ca,所以+=+-=+-.当且仅当=时取等号.答案:-三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016黄山二模)x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为7,求+的最小值.【解题导引】作出可行域,得到目标函数z=ax+by(a0,b0)的最优解,从而得到3a+4b=7,利用基本不等式求解即可.【解析】因为x,y满足约束条件目标函数z=ax+by(a0,b0),作出可行域:由图可得,可行域为ABC区域,目标函数z=ax+by(a0,b0)经过可行域内的点C时,取得最大值(最优解).由解得即C(3,4),因为目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为7,所以3a+4b=7(a0,b0),所以+=(3a+4b)=49=7(当且仅当a=b=1时取“=”).所以,+的最小值为7.【加固训练】(2016汕头一模)当实数x,y满足时,1ax+y4恒成立,求实数a的取值范围.【解题导引】由约束条件作出可行域,再由1ax+y4恒成立,结合可行域内特殊点的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.【解析】由约束条件作可行域如图,联立解得C.联立解得B(2,1).在x-y-1=0中取y=0得A(1,0).要使1ax+y4恒成立,则解得1a.所以实数a的取值范围是.8.(2016太原三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.(1)用x,y列出满足条件的关系式,并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域.(2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,最大收益是多少?【解析】(1)该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,则x,y满足的关系式为即作出二元一次不等式组所表示的平面区域:(2)设公司的收益为z元,则目标函数为:z=3000x+2000y,所以y=-x+.由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最大,即z最大.解方程组得A(100,200),所以zmax=3000100+2000200=700000.答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大,最大收益是70万元.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列不等式中,与不等式2解集相同的是()A.(x+8)(x2+2x+3)2B.x+82(x2+2x+3)C.【解析】选B.因为x2+2x+3=(x+1)2+220,x+8可能是正数、负数或零,所以由x+82(x2+2x+3)可得2,所以与不等式2解集相同的是x+80,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.B.C.1D.2【解题导引】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=.3.已知实数x,y满足约束条件若ykx-3恒成立,则实数k的取值范围是()A.B.C.(-,0D.0,+)【解题导引】由题意作出可行域,把ykx-3恒成立转化为可行域内两个特殊点A,B的坐标满足不等式ykx-3成立,代入点的坐标后求解不等式组得答案.【解析】选A.由约束条件作可行域如图,联立解得B(3,-3).联立解得A.由题意得解得-k0.所以实数k的数值范围是.4.若实数x,y满足则z=x+y的最大值是()A.B.C.D.1【解题导引】画出满足条件的平面区域,求出特殊点的坐标,从而求出z的最大值即可.【解析】选C.画出满足条件的平面区域,如图所示:由z=x+y得y=-x+z,显然直线y=-x+z和圆相切时z最大,由点O向y=-x+z作垂线,垂足是B,因为OB=1,BOx=,所以B,将B代入z=x+y得z=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知a0,b0,ab=32,则当a的值为_时log2alog2(2b)取得最大值.【解析】log2alog2(2b)=(log2(2ab)2=(log264)2=9.当a=2b时取等号,结合a0,b0,ab=32,可得a=8,b=4.答案:8【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.【加固练习】不等式-x2-3x+40的解集为_.(用区间表示)【解析】由-x2-3x+40得-4x0的解集为(-4,1).答案:(-4,1)6.已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=2x+ay仅在点(3,4)处取得最小值,则a的取值范围是_.【解析】不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4),所以zA=2,zB=a,zC=6+4a.所以解得a-2.答案:(-,-2)三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示.产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.28每生产一张圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多,利润最多为多少?【解题导引】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元;从而可得z=6x+10y,利用线性规划求解.【解析】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元，则所以z=6x+10y;作其平面区域如下,则由y=800-2x,x=700-3.5y得,x=350,y=100.zmax=6350+10100=3100.所以应生产圆桌350张,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大,利润最多为3100元.【加固训练】某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,求该企业每天可获得的最大利润.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,则利润z=3x+4y,由题意可得其表示如图阴影部分区域:当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值z=32+43=18.所以当生产2吨甲产品,3吨乙产品时,该企业每天可获得最大利润,且最大利润为18万元.8.已知实数x,y满足x2+y21,求|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值.【解析】由x2+y21可得:2x+y-40,则2x+y-4+6-x-3y=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10,令z=-3x-4y+10,得y=-x-+,如图,要使z=-3x-4y+10最大,则直线y=-x-+在y轴上的截距最小,由z=-3x-4y+10,得3x+4y+z-10=0.则z=10-3x-4y与圆相切时取得最大值,故d=1,所以z=5(舍去)或15,故该目标函数的最大值为15.
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