高三数学二轮复习 5 立体几何练习 文

5.立体几何1. 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_答案2. 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A4 B3 C2 D.答案D3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”号，错误的画“”号(1)如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面()(2)如果直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行()(3)如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab.()(4)如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么b.()答案(1)(2)(3)(4)4. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()A96 B16 C24 D48答案D5. 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积解由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以旋转体的体积为V圆台V半球52(cm3)6. (2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3C. cm3 D. cm3答案C解析该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形、高为2 cm的正四棱锥组成的组合体，V222222 cm3.故选C.7. 如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC答案C8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C与PM相交；NC与PM异面其中不正确的结论是()A BC D答案B9. 设a，b为两条直线，为两个平面，且a，a，则下列结论中不成立的是()A若b，ab，则a B若a，则aC若ab，b，则a D若，a，ba，则b10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C.8 D16答案B11. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21C.23 D32答案A12. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)()A BC. D答案B13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.答案D14. 在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若ABACAD2，则平面BCD被球所截得图形的面积为_答案16解析过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是BCD的外心，外接球球心O位于直线AM上，设BCD所在截面圆半径为r，OAOB5，AB2，在ABO中，BO2AB2AO22ABAOcosBAO，cosBAO，sinBAO.在RtABM中，r2sinBAO4，所求面积Sr216.15. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD1，点E，F分别为AB和PD的中点(1)求证：直线AF平面PEC； (2)求三棱锥PBEF的表面积解(1)证明：作FMCD交PC于M，连接ME.点F为PD的中点，FM綊CD，又AE綊CD，AE綊FM，四边形AEMF为平行四边形，AFEM，AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC.(2)连接ED，BD，可知EDAB，ABPE，ABFE，故SPEFPFED；SPBFPFBD1；SPBEPEBE；SBEFEFEB1.因此三棱锥PBEF的表面积SPBEFSPEFSPBFSPBESBEF.16. 如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2，D是BC的中点(1)求证：A1C平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.ABCA1B1C1是直三棱柱，四边形ABB1A1是平行四边形，O是A1B的中点又D是BC的中点，ODA1C，OD平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面ABC，平面BCC1B1平面ABC，ABC是正三角形，D是BC的中点，ADBC，AD平面BCC1B1，ADB1D， 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCBAD90，BC2，APADAB，PABPAD.(1)试在棱PA上确定一个点E，使得PC平面BDE，并求出此时的值；(2)当60时，求证：CD平面PBD.解(1)解法一：连接AC，BD交于点F，在平面PCA中作EFPC交PA于E，连接BE，DE，因为PC平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE，因为ADBC，所以，因为EFPC，所以，所以.解法二：在棱PA上取一点E，使得.连接AC，BD交于点F，连接EF，BE，DE，因为ADBC，所以，所以，所以EFPC，因为PC平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.(2)证法一：取BC的中点G，连接DG，则ABGD为正方形连接AG，BD交于点O，连接PO，因为APADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等边三角形，因此PAPBPD，又因为ODOB，所以POBPOD，所以POBPOD90，同理得POAPOB，POA90，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABCBAD90，BC2AD2AB2，可得BD2，CD2，所以BD2CD2BC2，所以BDCD，所以CD平面PBD.证法二：取BC的中点G，连接DG，则ABGD为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD， OG.因为APADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等边三角形，因此PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以PO 平面PBD.又ABCBAD90，BC2AD2AB2，所以BDCD，又因为POCD，所以CD平面PBD.18. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB4，BE1.(1)证明：平面ADE平面ACD；(2)当三棱锥CADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离解(1)证明：AB是直径，BCAC，又四边形DCBE为矩形，CDDE，BCDE，DEAC，CDACC，DE平面ACD，又DE平面ADE，平面ADE平面ACD.(2)由(1)知VCADEVEACDSACDDEACCDDEACBC(AC2BC2)AB2，当且仅当ACBC2时等号成立当ACBC2时，三棱锥CADE的体积最大，为.此时，AD3，SADEADDE3，设点C到平面ADE的距离为h，则VCADESADEh，h.19. 如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC2BC2CD2，PA圆O所在的平面，PA，点M在线段BP上，且BMBP.(1)求证：CM平面PAD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值解(1)证明：作MEAB于E，连接CE，则MEAP.AC是圆O的直径，AC2BC2CD2，ADDC，ABBC，BACCAD30，BCADCA60，ABAD，BMBP，BEBA，tanBCE，BCEECA30CAD，ECAD.又MECEE，PADAA，平面MEC平面PAD，又CM平面MEC，CM平面PAD，CM平面PAD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BFCG，交AG于F，连接PF，则PBF为异面直线BP与CD所成的角，设PBF.易知AF1，PB，BF2，PF2，故cos.21. 如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离解(1)AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，可知，过点P作MPFD交AF于点M，连接EM，则有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CPME.又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故CP平面ABEF.(2)设BEx，所以AFx(0x4)，FD6x，故V三棱锥ACDF2(6x)x(x26x)，当x3时，V三棱锥ACDF有最大值，且最大值为3，此时，EC1，AF3，FD3，DC2.在RtEFC中，FC，在RtAFD中，AD3，在RtAFC中，AC.在ACD中，cosADC，故sinADC，SADCDADCsinADC323.设点F到平面ACD的距离为h，由V三棱锥ACDFV三棱锥FADC，即3hSADCh3，得h，故此时点F到平面ACD的距离为.22.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C.证明(1)连接BD1，如图所示在DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则EF平面ABC1D1.(2)ABCDA1B1C1D1为正方体AB平面BCC1B1EFB1C.23. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC3，AA12，点P，Q分别为A1B和B1C1的中点(1)证明：PQ平面A1ACC1；(2)求三棱锥QA1BC的体积(1)证明取A1C的中点G，连接PG，GC1.P，G，Q分别为A1B，A1C，B1C1的中点，PGBC，且PGBC，QC1BC，且QC1BC，PGQC1，且PGQC1，四边形PQC1G为平行四边形，PQGC1.又PQ平面A1ACC1，GC1平面A1ACC1，PQ平面A1ACC1.(2)解由已知得A1B1A1C1，又Q为B1C1的中点，A1QB1C1.又棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，A1QCC1.又B1C1，CC1平面B1BCC1，且B1C1CC1C1，A1Q平面B1BCC1.A1Q是棱锥A1BQC的高BAC90，ABAC3，BC6，A1Q3.又AA12，SQBCBCCC1626，SQBCA1Q636，6.24. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PAAD1，E、F分别为PD、AC上的动点，且(01)(1)若，求证：EF平面PAB；(2)求三棱锥EFCD体积的最大值解(1)证明：分别取PA和AB的中点M、N，连接MN、ME、NF、DF，则NF綊AD，ME綊AD，所以NF綊ME，所以四边形MEFN为平行四边形，所以EFMN，又EF平面PAB，MN平面PAB，所以EF平面PAB.(2)在平面PAD内作EHAD于H，因为侧棱PA底面ABCD，所以平面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以EH平面ADC，所以EHPA.(或平面PAD中，PAAD，EHAD，所以EHPA亦可)因为(01)，所以，EHPA.1，SFCD(1)SADC，VEFCD(01)，所以VEFCD的最大值为.