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13.1函数的单调性与导数明目标、知重点1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)1一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数2.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f(x) 0单调递减f(x)0常函数f(x)0情境导学以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x10；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h(t)0，y是增函数；(2)在区间(，0)内，y2x0，y是增函数；(3)在区间(，)内，y3x20，y是增函数；(4)在区间(，0)，(0，)内，y0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？答不一定由思考2中(3)知f(x)0恒成立思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开思考2中(4)的单调递减区间为(，0)，(0，)(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集例1已知导函数f(x)的下列信息：当1x0；当x4，或x1时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状解当1x0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f(x)0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x4，或x1时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了跟踪训练1函数yf(x)的图象如图所示，试画出导函数f(x)图象的大致形状解f(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)sin xx(0x0得x2，由f(x)0解得3x0，即20，解得x.又x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x0时，函数的单调递增区间是，令f(x)0时，得3t3x20，即tx2，当t0时，f(x)0恒成立，函数的单调递减区间是(，)；当t0时，函数的单调递减区间是(，)综上所述，当t0时，函数的单调减区间是(，)，无单调增区间；当t0时，函数的单调增区间是，单调减区间是(，)反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f(x)；(3)解f(x)0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0得x，又x0，x，函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0得x或0x0，0x0得x1；由f(x)0得x0，函数在(0,6)上单调递增2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确3函数f(x)ln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析f(x)，令f(x)0得x1或x0，得x2；令y0，得x0，得x或x；令y0，得x0和f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x3在(1,1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1x1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2函数yx2ln x的单调递减区间是()A(0,1) B(0,1)(，1)C(，1) D(，)答案A解析yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，即x0，解得：0x1或x0，0x1，故选A.3函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)是()A增函数B减函数C常数D既不是增函数也不是减函数答案A解析求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0恒成立，故f(x)是增函数4下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin x Byxe2Cyx3x Dyln xx答案B解析显然ysin x在(0，)上既有增又有减，故排除A；对于函数yxe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在(0，)内为单调增函数；对于C，y3x213(x)(x)，故函数在(，)，(，)上为单调增函数，在(，)上为单调减函数；对于D，y1 (x0)故函数在(1，)上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数故选B.5函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_答案2,3)6若三次函数f(x)ax3x在区间(，)内是增函数，则a的取值范围是_答案(0，)解析f(x)3ax21，f(x)在R上为增函数，3ax210在R上恒成立又a0，a0.7.已知函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，试画出函数yf(x)的大致图象解由yf(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f(x)0，2x0，f(2)0，f(2)0.故原函数yf(x)的图象大致如右：二、能力提升8如果函数f(x)的图象如图，那么导函数yf(x)的图象可能是()答案A解析由f(x)与f(x)关系可选A.9设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是单调增函数，当axf(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)10若函数f(x)x2ax在(，)是增函数，则a的取值范围是 ()A1,0 B1，)C0,3 D3，)答案D解析把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值由题意知f(x)0对任意的x恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需amax.令h(x)2x，x.因为h(x)2，所以当x时，h(x)0，即h(x)在上单调递减，所以h(x)h3，故a3.11求下列函数的单调区间：(1)yxln x；(2)yln(2x3)x2.解(1)函数的定义域为(0，)，y1，由y0，得x1；由y0，得0x0，即x时，函数yln(2x3)x2单调递增；当y0，即1x0，得x1；令f(x)0，得1x0，即3mx26mx0，当m0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，解得0x0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).- 13 -
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