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模块质量检测(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2011福建卷)若aR,则“a2”是“(a1)(a2)0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析:由“a2”可以推出“(a1)(a2)0”,但由“(a1)(a2)0”应推出“a1或a2”,不一定推出“a2”,故“a2”是“(a1)(a2)0”的充分而不必要条件答案:A2命题“对任意的xR,x3x210”的否定是()A不存在xR,x3x210B存在xR,x3x210C存在xR,x3x210D对任意的xR,x3x210解析:全称命题的否定是特称命题,且将结论否定,故为C.答案:C3在如图正方体中,下列各式中的运算结果为向量的有()()()()()A1个 B2个C3个 D4个解析:(),正确,(),正确,(),正确,(),正确,故选D.答案:D4若a(1,x,2),b(2,1,2),a与b夹角的余弦值为,则x等于()A2 B2C2或 D2或解析:cosa,b,解得x2或x,故选C.答案:C5如果命题“(p或q)”是假命题,则下列命题正确的是()Ap,q都是真命题 Bp,q中至少有一个真命题Cp,q都是假命题 Dp,q中至多有一个真命题解析:命题“(p或q)”是假命题,则命题“p或q”是真命题,所以p,q中至少有一个真命题故选B.答案:B6双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m()A B4C4 D解析:双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,m0,且双曲线方程为y21,m.答案:A7若拋物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A. B.C. D.解析:点P到准线的距离即点P(x0,y0)到焦点的距离,得|PO|PF|,过点P所作POF的高也是中线x0,代入到y2x得y0,P.故选B.答案:B8已知ab0,|a|2,|b|3,且(3a2b)(ab)0,则等于()A. BC D1解析:由ab0及(3a2b)(ab)0,得3a22b2,又|a|2,|b|3,所以,故选A.答案:A9中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A. B.C. D.解析:由题意知(4,2)在yx上,即,即,e,故选D.答案:D10如右图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1ABAC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为()A. B.C. D.解析:以A为坐标原点,AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1ABAC2,则(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),(0,1,2),所以0,所以QP与AM所成角为.答案:D11已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程是yx,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:渐近线方程是yx,.双曲线的一个焦点在y224x的准线上,c6.又c2a2b2,由知,a29,b227,此双曲线方程为1.答案:B12.如图所示,在几何体ABCD中,AB面BCD,BCCD,且ABBC1,CD2,点E为CD中点,则AE的长为()A. B.C2 D.解析:AABC,|A|B|1|C|,且ABACBC0.又A2(ABC)2,A23,AE的长为.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13(2012菏泽十校联考)若“x2,5或xx|x1或x4是假命题,则x的取值范围是_解析:x2,5或xx|x1或x4是假命题,x2,5为假且xx|x1或x4为假,x(,2)(5,)且x1,4,x1,2)答案:1,2)14(2012福州高级中学期末)已知A(2,1,1),B(1,x,4),C(4,3,5),若向量,则x_.解析:(1,x1,3),(2,2,6),且,即(1,x1,3)(2,2,6)解得,x0.答案:015已知双曲线1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1,则m_.解析:依题意,1,解得m.答案:16(2011唐山高二检测)已知双曲线x21的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则最小值为_解析:A1(1,0),F2(2,0),设P(x,y)(x1),(1x,y)(2x,y)x2x2y2,又x21,故y23(x21),于是4x2x5425,当x1时,取到最小值2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知p:方程x2mx10有两个不等的负根,q:方程4x24(m2)x10无实根,若“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围解析:p:m240,且m0,解得m2.q:16(m2)2160,解得1m3.“p或q”为真,“p且q”为假,p、q两命题一真一假,即或解得m3或1m2.18(12分)设p:实数x满足x24ax3a20,其中a0,q:实数x满足x2x60,或x22x80,且p是q的必要不充分条件,求a的取值范围解析:设Ax|px|x24ax3a20(a0)x|3axa(a0),Bx|qx|x2x60,或x22x80x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x4,或x2x|x4或x2p是q的必要不充分条件,qp,且p/ q,x|4x2x|x3a,或xa(a0),则或即a0或a4.19(12分)(2011南通高二检测)已知动点P与平面上两定点A(,0),B(,0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C.(2)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|时,求直线l的方程解析:(1)设点P(x,y),则依题意有,整理得y21.由于x,所以求得的曲线C的方程为y21(x)(2)由,消去y得:(12k2)x24kx0.解得x10,x2.(x1,x2分别为M,N的横坐标)由|MN|x1x2|,解得k1.所以直线l的方程xy10或xy10.20.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,PDDCBC1,AB2,ABDC,BCD90.(1)求证:PCBC;(2)求点A到平面PBC的距离解析:方法一:(1)证明:因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.由BCD90,得BCDC.又PDDCD,PD平面PCD,DC平面PCD,所以BC平面PCD.因为PC平面PCD,所以PCBC.(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为ABDC,BCD90,所以ABC90.从而由AB2,BC1,得ABC的面积SABC1.由PD平面ABCD及PD1,得三棱锥PABC的体积VSABCPD.因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC.又PDDC1,所以PC.由PCBC,BC1,得PBC的面积SPBC.由VSPBChh,得h.因此,点A到平面PBC的距离为.方法二:建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0)(1)证明:(0,1,1),(1,0,0)0(1)10(1)00,PCBC.(2)设平面PBC的法向量n(x,y,z),则有即令y1得n(0,1,1)又因为A(1,1,0),(0,2,0),所以点A到平面PBC的距离d.21(12分)(2011北京卷)已知椭圆G:1(ab0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程;(2)求PAB的面积解析:(1)由已知得c2,解得a2.又b2a2c24,所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm,由得,4x26mx3m2120设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0,y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边,所以PEAB.所以PE的斜率k1,解得m2.此时方程为4x212x0,解得x13,x20,所以y11,y22,所以|AB|3.此时,点P(3,2)到直线AB:xy20的距离d,所以PAB的面积S|AB|d.22(12分),如图,在四面体ABOC中,OCOA,OCOB,AOB120,且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点,证明:在AB上存在一点Q,使PQOA,并计算的值;(2)求二面角OACB的平面角的余弦值解析:(1)证明:取O为坐标原点,分别以OA,OC所在直线为x轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)则A(1,0,0),C(0,0,1),B,P为AC的中点,P.设,且(0,1),(1,0,0),PQOA,0,即0,因此存在点Q,使得PQOA且3.(2)记平面ABC的法向量为n(n1,n2,n3),则由n,n,且(1,0,1),得,故可取n(1,1),又平面OAC的法向量为e(0,1,0),于是cosn,e,所以所求二面角的余弦值为.8
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