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2017高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.3 数学归纳法对点训练 理1已知数列an的各项均为正数,bnnnan(nN),e为自然对数的底数(1)求函数f(x)1xex的单调区间,并比较n与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn(a1a2an),数列an,cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn0,即x0时,f(x)单调递增;当f(x)0时,f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(,0),单调递减区间为(0,)当x0时,f(x)f(0)0,即1xex.令x,得1e,即ne.(2)11112;222(21)232;3233(31)343.由此推测:(n1)n.下面用数学归纳法证明.a当n1时,左边右边2,成立b假设当nk时,成立,即(k1)k.当nk1时,bk1(k1)k1ak1,由归纳假设可得(k1)k(k1)k1(k2)k1.所以当nk1时,也成立根据a、b,可知对一切正整数n都成立(3)证明:由cn的定义,算术几何平均不等式,bn的定义及得Tnc1c2c3cn b1b2bnb1b2bn1a12a2nanea1ea2eaneSn.即Tn1)(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a11,an1ln (an1),证明:an.解(1)f(x)的定义域为(1,),f(x).当1a0,f(x)在(1,a22a)是增函数;若x(a22a,0),则f(x)0,f(x)在(0,)是增函数当a2时,f(x)0,f(x)0成立当且仅当x0,f(x)在(1,)是增函数;当a2时,若x(1,0),则f(x)0,f(x)在(1,0)是增函数;若x(0,a22a),则f(x)0,f(x)在(a22a,)是增函数(2)证明:由(1)知,当a2时,f(x)在(1,)是增函数当x(0,)时,f(x)f(0)0,即ln (x1)(x0)又由(1)知,当a3时,f(x)在0,3)是减函数当x(0,3)时,f(x)f(0)0,即ln (x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.当n1时,由已知a11,故结论成立;设当nk时结论成立,即ln ,ak1ln (ak1)ln ,即当nk1时有0),设fn(x)为fn1(x)的导数,nN*.(1)求2f1f2的值;(2)证明:对任意的nN*,等式都成立解(1)由已知,得f1(x)f0(x),于是f2(x)f1(x),所以f1,f2.故2f1f21.(2)证明:由已知,得xf0(x)sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)xf0(x)cosx,即f0(x)xf1(x)cosxsin,类似可得2f1(x)xf2(x)sinxsin(x),3f2(x)xf3(x)cosxsin,4f3(x)xf4(x)sinxsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立当n1时,由上可知等式成立假设当nk时等式成立,即kfk1(x)xfk(x)sin成立因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x),cossin,所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin.因此当nk1时,等式也成立综合,可知等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x,可得nfn1fnsin(nN*)所以(nN*)5
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