2017高考数学一轮复习第十四章推理与证明14.3数学归纳法对点训练理

2017高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.3 数学归纳法对点训练 理1已知数列an的各项均为正数，bnnnan(nN)，e为自然对数的底数(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较n与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn(a1a2an)，数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即ne.(2)11112；222(21)232；3233(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.a当n1时，左边右边2，成立b假设当nk时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)k1ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)k1(k2)k1.所以当nk1时，也成立根据a、b，可知对一切正整数n都成立(3)证明：由cn的定义，算术几何平均不等式，bn的定义及得Tnc1c2c3cn b1b2bnb1b2bn1a12a2nanea1ea2eaneSn.即Tn1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln (an1)，证明：an.解(1)f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数；当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)是增函数(2)证明：由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0，即ln (x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0,3)是减函数当x(0,3)时，f(x)f(0)0，即ln (x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.当n1时，由已知a11，故结论成立；设当nk时结论成立，即ln ，ak1ln (ak1)ln ，即当nk1时有0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立解(1)由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2.故2f1f21.(2)证明：由已知，得xf0(x)sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cosx，即f0(x)xf1(x)cosxsin，类似可得2f1(x)xf2(x)sinxsin(x)，3f2(x)xf3(x)cosxsin，4f3(x)xf4(x)sinxsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立当n1时，由上可知等式成立假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin成立因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin.因此当nk1时，等式也成立综合，可知等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)所以(nN*)5