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专题15 椭圆、双曲线、抛物线1已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A2已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.3已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A.B.C.D2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.4已知F1、F2为椭圆1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且MF1F2的内切圆的周长等于3，则满足条件的点M有()A0个B1个C2个D4个答案C解析由椭圆方程1可得a225，b216，a5，b4，c3.由椭圆的定义可得|MF1|MF2|2a10，且|F1F2|2c6，MF1F2的周长|MF1|MF2|F1F2|10616.设MF1F2的内切圆的半径为r，由题意可得2r3，解得r.5已知圆x2y2上点E处的一条切线l过双曲线1(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若()，则双曲线的离心率是_答案解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|，由()，可知E为FP的中点由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OEPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.6经过椭圆1的右焦点的直线l交抛物线y24x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则_.答案5解析由椭圆1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l的方程为xmy1.由得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，x1x21. 由题意知C(x1，y1)，(x2，y2)(x1，y1)x1x2y1y2145.7若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案9解析抛物线y24x的焦点F(1,0)准线为x1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x1的距离也为10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为9.8已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程解(1)由题意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以1，解得a2，所以b23，故椭圆C的方程为1.化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圆O的半径r，所以r，故圆O的方程为x2y2.9已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e，右焦点为F，且1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：QPN90.(1)解依题意，设椭圆C的方程为1(ab0)，则A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)，由e，得ac.由1，得(ca,0)(ca,0)c2a21.联立，解得a，c1，所以b21，故椭圆C的标准方程为y21.因为点P，N在椭圆上，所以x2y2，x2y2，把代入，得kPQkPN10，即kPQkPN1，所以QPN90.易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)ABC的两个顶点为A(4,0)，B(4,0)，ABC周长为18，则C点轨迹方程为()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)(2)在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则_.答案(1)D(2)【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x224y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1D.1(2)抛物线y24x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案(1)B(2)3解析(1)由抛物线x224y得焦点坐标为(0,6)，双曲线的一个焦点与抛物线x224y的焦点相同，c6，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30，即ba，又c2a2b2，a29，b227，双曲线的标准方程为1.故选B.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x11x218，x1x26.线段AB的中点到y轴的距离为3.【名师点睛】 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定【锦囊妙计，战胜自我】1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_(2)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()Ay3xBy2xCy(1)xDy(1)x答案(1)1(2)C易得直线BC的斜率为，cosCF1F2，又由双曲线的定义及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故双曲线的渐近线方程为y(1)x.【变式探究】(1)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.(2)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)答案(1)D(2)A由1可知A(a,0)，F(c,0)易得B，C.kAB，kCD.kAC，kBD.lBD：y(xc)，即yx，【名师点睛】 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围【锦囊妙计，战胜自我】1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，|AB|，又|CP|3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，则P点的坐标为，从而|PC|.因为|PC|2|AB|，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.【变式探究】(1)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A， B2,2C1,1D4,4(2)设椭圆C：1与函数ytan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是_答案(1)C(2)，解析(1)由题意知抛物线的准线为x2，Q(2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20，当k0时，x0，此时交点为(0,0)，当k0时，0，即4(k22)216k40，解得1k0或0b0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为()A.B.C.D.1答案D解析如图所示，设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限，由已知得直线OA的斜率为ktan60，2已知椭圆C1：y21(m0)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e21答案A解析由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.3已知双曲线C：y21的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为()A.B5C.D4答案A解析因为双曲线C：y21，所以a，b1，c2，4设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1)，则|PA|PF|的最小值为()A4B7C42D10答案B解析由题意，|MF|的最小值为3，3，p6，抛物线E：y212x，抛物线y212x的焦点F的坐标是(3,0)；设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，为4(3)7，故选B.5已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则点F到双曲线的渐近线的距离为()A.B2C.D3答案A双曲线的方程为x21.又双曲线的渐近线方程为yx，点F(2,0)到渐近线的距离为.6已知点A(2,4)在抛物线y22px(p0)上，且抛物线的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_答案x21解析点A(2,4)在抛物线y22px(p0)上，164p，解得p4.抛物线的准线方程为x2.又抛物线的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，c2，又e2，a1，则b2c2a2413，双曲线的方程为x21.7一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，则动圆圆心的轨迹方程为_答案1解析两定圆的圆心和半径分别是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，可得|MO1|R1，|O2M|9R.|MO1|MO2|10|O1O2|6. 由椭圆的定义知点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且2a10,2c6，b216.动圆圆心的轨迹方程为1.8过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为_答案9已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线x21的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解(1)由双曲线x21得其焦点为(0，)，b.又由e，a2b2c2，得a24，c1.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，由消去y，得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0，4，)故的取值范围为4，)10.如图所示，抛物线y24x的焦点为F，动点T(1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；(2)若m0且|NF|TF|，求m的值及点N的坐标(1)证明易知抛物线的焦点F(1,0)，准线x1，动点T(1，m)在准线上，则kTF.当m0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上当m0时，由条件知kPQ，所以直线PQ的方程为y(x1)，联立得x2(2 又动点T(1，m)，其中m0，则m2.因为NTF45，所以kPQtan451，又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为yx1，由m2得T(1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，设N(x0，y0)，则y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)18
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