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专题05 导数及其应用1(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()A4B2C4D2答案D解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.2(2016课标全国乙)若函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C.D.答案C解析方法一(特殊值法)：不妨取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)：函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.易错起源1、导数的几何意义例1(1)(2016课标全国甲)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.(2)已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A4B5C.D.答案(1)1ln2(2)C (2)f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.【变式探究】设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.答案1解析由题意得，y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.【名师点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解【锦囊妙计，战胜自我】1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同易错起源2、利用导数研究函数的单调性例2、设函数f(x)xekx (k0)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围解(1)由题意可得f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，故曲线yf(x)在点(0，f (0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增；若k0，解得x0，即函数f(x)的单调递增区间为(，)(0，)，故选C.(2)f(x)的定义域为(0，)f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意，得解得1k0或f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性易错起源3、利用导数求函数的极值、最值例3、已知函数f(x)ax3lnx，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围 (2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.【变式探究】已知函数f(x)lnxaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)lnx，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln1.综上可得，a的取值范围是(1，).【名师点睛】(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值【锦囊妙计，战胜自我】 1若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 1函数f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()答案C解析依题意f(x)x2cosx，对f(x)求导，得f(x)xsinx，可知f(x)为奇函数，由此可排除B，D；当x0时，f(x)xsinx0，由此可排除A.2曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()Ax1ByCxy1Dxy1答案B解析f(x)的导数f(x)，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率k0，切点为，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y.3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是单调递减函数，则a的取值范围是()A0aB.aCaD0a答案C4若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfBfCfDf答案C解析导函数f(x)满足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可构造函数g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上为增函数，f(0)1，g(0)1，gg(0)，即f1，f，选项C错误，故选C.5若函数f(x)(x1)ex，则下列命题正确的是()A对任意m，都存在xR，使得f(x)，都存在xR，使得f(x)mC对任意m，方程f(x)m总有两个实根答案B解析因为f(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex，故函数在区间(，2)，(2，)上分别为减函数与增函数，故f(x)minf(2)，故当m时，总存在x使得f(x)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析设g(x)，则g(x)的导数g(x).当x0时，总有xf(x)0时，g(x)0时，函数g(x)为减函数，又g(x)g(x)，函数g(x)为定义域上的偶函数，又g(1)0，函数g(x)的大致图象如图：数形结合可得，不等式f(x)0xg(x)0或0x1或x1.故选A.7.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f(x)0的点可以排除B.8已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程是_答案4x4y109已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0，f(x)为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20.令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，即解得2x0；x时，y0，故函数在上递增，在上递减，所以当x时，函数取最大值.11已知函数f(x)lnx，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)lnx，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去)x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln2.又f(1)，f(3)ln3，ln31，(ln3)ln310，f(1)f(3)，当x1时，f(x)取得最大值为；当x2时，f(x)取得最小值为ln2.(2)由(1)知，当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a，实数a的取值范围是(，)12已知函数f(x)(ax21)ex，aR.(1)若函数f(x)在x1时取得极值，求a的值；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(ax22ax1)ex，xR，依题意得f(1)(3a1)e0，解得a.经检验符合题意(2)f(x)(ax22ax1)ex，设g(x)ax22ax1，当a0时，f(x)ex，f(x)在(，)上为单调减函数当a0时，方程g(x)ax22ax10的判别式为4a24a，令0，解得a0(舍去)或a1.()当a1时，g(x)x22x1(x1)20，即f(x)(ax22ax1)ex0，且f(x)在x1两侧同号，仅在x1时等于0，则f(x)在(，)上为单调减函数()当1a0时，0，则g(x)ax22ax10恒成立，即f(x)0恒成立，则f(x)在(，)上为单调减函数()当a0，令g(x)0，方程ax22ax10有两个不相等的实数根x11，x21，作差可知11，则当x1时，g(x)0，f(x)0，f(x)在上为单调减函数；当1x0，f(x)0，f(x)在上为单调增函数；当x1时，g(x)0，f(x)0，f(x)在上为单调减函数综上所述，当1a0时，函数f(x)的单调减区间为(，)；当a1时，函数f(x)的单调减区间为，函数f(x)的单调增区间为.14
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