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专题05 导数及其应用1(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a等于()A4B2C4D2答案D解析f(x)x312x,f(x)3x212,令f(x)0,则x12,x22.当x(,2),(2,)时,f(x)0,则f(x)单调递增;当x(2,2)时,f(x)0,则f(x)单调递减,f(x)的极小值点为a2.2(2016课标全国乙)若函数f(x)xsin2xasinx在(,)上单调递增,则a的取值范围是()A1,1B.C.D.答案C解析方法一(特殊值法):不妨取a1,则f(x)xsin 2xsin x,f(x)1cos 2xcos x,但f(0)110,不具备在(,)单调递增,排除A,B,D.故选C.方法二(综合法):函数f(x)xsin 2xasin x在(,)单调递增,f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0,即acos xcos2x在(,)恒成立当cos x0时,恒有0,得aR;当0cos x1时,得acos x,令tcos x,f(t)t在(0,1上为增函数,得af(1);当1cos x0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)x22ax41,即x22ax50,即a能成立,令h(x),则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)在x1,2上单调递减,所以h(x)minh(2),故只需a.易错起源1、导数的几何意义例1(1)(2016课标全国甲)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.(2)已知f(x)x32x2x6,则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A4B5C.D.答案(1)1ln2(2)C (2)f(x)x32x2x6,f(x)3x24x1,f(1)8,切线方程为y28(x1),即8xy100,令x0,得y10,令y0,得x,所求面积S10.【变式探究】设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直,则a_.答案1解析由题意得,y,则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2,又该切线与直线xay10垂直,所以k1k21,解得a1.【名师点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解【锦囊妙计,战胜自我】1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0),相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同易错起源2、利用导数研究函数的单调性例2、设函数f(x)xekx (k0)(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增,求k的取值范围解(1)由题意可得f(x)(1kx)ekx,f(0)1,f(0)0,故曲线yf(x)在点(0,f (0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0,得x(k0),若k0,则当x时,f(x)0,函数f(x)单调递增;若k0,函数f(x)单调递增,当x时,f(x)0,则当且仅当1,即k1时,函数f(x)在区间(1,1)内单调递增;若k0,解得x0,即函数f(x)的单调递增区间为(,)(0,),故选C.(2)f(x)的定义域为(0,)f(x)4x.由f(x)0,得x.据题意,得解得1k0或f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)x3在(,)上单调递增,但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性易错起源3、利用导数求函数的极值、最值例3、已知函数f(x)ax3lnx,其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围 (2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)ax23x2,则解得0a.故a的取值范围为.【变式探究】已知函数f(x)lnxaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点,求a的值;(2)若f(x)0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0,),f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点,所以f(1)1a2a20,解得a(舍去)或a1.经检验,当a1时,x1是函数yf(x)的极值点,所以a1.(2)当a0时,f(x)lnx,显然在定义域内不满足f(x)0时,令f(x)0,得x1(舍去),x2,所以x,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln1.综上可得,a的取值范围是(1,).【名师点睛】(1)求函数f(x)的极值,则先求方程f(x)0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值【锦囊妙计,战胜自我】 1若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 1函数f(x)x2sin,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()答案C解析依题意f(x)x2cosx,对f(x)求导,得f(x)xsinx,可知f(x)为奇函数,由此可排除B,D;当x0时,f(x)xsinx0,由此可排除A.2曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()Ax1ByCxy1Dxy1答案B解析f(x)的导数f(x),曲线在点(1,f(1)处的切线斜率k0,切点为,曲线在点(1,f(1)处的切线方程为y.3已知a0,函数f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是单调递减函数,则a的取值范围是()A0aB.aCaD0a答案C4若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()AfBfCfDf答案C解析导函数f(x)满足f(x)k1,f(x)k0,k10,0,可构造函数g(x)f(x)kx,可得g(x)0,故g(x)在R上为增函数,f(0)1,g(0)1,gg(0),即f1,f,选项C错误,故选C.5若函数f(x)(x1)ex,则下列命题正确的是()A对任意m,都存在xR,使得f(x),都存在xR,使得f(x)mC对任意m,方程f(x)m总有两个实根答案B解析因为f(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex,故函数在区间(,2),(2,)上分别为减函数与增函数,故f(x)minf(2),故当m时,总存在x使得f(x)0时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1) B(1,0)(1,)C(,1)(1,0) D(0,1)(1,)答案A解析设g(x),则g(x)的导数g(x).当x0时,总有xf(x)0时,g(x)0时,函数g(x)为减函数,又g(x)g(x),函数g(x)为定义域上的偶函数,又g(1)0,函数g(x)的大致图象如图:数形结合可得,不等式f(x)0xg(x)0或0x1或x1.故选A.7.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A、D;从适合f(x)0的点可以排除B.8已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx2上的两点,则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程是_答案4x4y109已知函数f(x)x3x,对任意的m2,2,f(mx2)f(x)0,f(x)为增函数又f(x)为奇函数,由f(mx2)f(x)0知,f(mx2)f(x)mx2x,即mxx20.令g(m)mxx2,由m2,2知g(m)0恒成立,即解得2x0;x时,y0,故函数在上递增,在上递减,所以当x时,函数取最大值.11已知函数f(x)lnx,x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值;(2)若f(x)4at对任意的x1,3,t0,2恒成立,求实数a的取值范围解(1)函数f(x)lnx,f(x),令f(x)0,得x2或x2(舍去)x1,3,当1x2时,f(x)0;当2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数,在(2,3)上是单调增函数,f(x)在x2处取得极小值f(2)ln2.又f(1),f(3)ln3,ln31,(ln3)ln310,f(1)f(3),当x1时,f(x)取得最大值为;当x2时,f(x)取得最小值为ln2.(2)由(1)知,当x1,3时,f(x),故对任意x1,3,f(x)对任意t0,2恒成立,即at恒成立,记g(t)at,t0,2解得a,实数a的取值范围是(,)12已知函数f(x)(ax21)ex,aR.(1)若函数f(x)在x1时取得极值,求a的值;(2)当a0时,求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(ax22ax1)ex,xR,依题意得f(1)(3a1)e0,解得a.经检验符合题意(2)f(x)(ax22ax1)ex,设g(x)ax22ax1,当a0时,f(x)ex,f(x)在(,)上为单调减函数当a0时,方程g(x)ax22ax10的判别式为4a24a,令0,解得a0(舍去)或a1.()当a1时,g(x)x22x1(x1)20,即f(x)(ax22ax1)ex0,且f(x)在x1两侧同号,仅在x1时等于0,则f(x)在(,)上为单调减函数()当1a0时,0,则g(x)ax22ax10恒成立,即f(x)0恒成立,则f(x)在(,)上为单调减函数()当a0,令g(x)0,方程ax22ax10有两个不相等的实数根x11,x21,作差可知11,则当x1时,g(x)0,f(x)0,f(x)在上为单调减函数;当1x0,f(x)0,f(x)在上为单调增函数;当x1时,g(x)0,f(x)0,f(x)在上为单调减函数综上所述,当1a0时,函数f(x)的单调减区间为(,);当a1时,函数f(x)的单调减区间为,函数f(x)的单调增区间为.14
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