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第5讲尺规作图,1.能用尺规完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线.,2.会利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.,3.会利用基本作图完成:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.4.在尺规作图中,了解尺规作图的道理,保留作图痕迹,,不要求写作法.,1.(2017年山东枣庄)如图4-5-1,在RtABC中,C90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD4,AB15,,则ABD的面积是(,),图4-5-1,A.15,B.30,C.45,D.60,答案:B,2.(2017年浙江衢州)下列图4-5-2四种基本尺规作图分别表示:作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过直线外一点P作已知直线的垂线,则,对应选项中作法错误的是(,),图4-5-2,A.,B.,C.,D.,答案:C,3.如图4-5-3,已知AOB和射线OB,用尺规作图法,作AOBAOB(要求保留作图痕迹).,图4-5-3,解:如图D43:,图D43,4.(2012年广东)如图4-5-4,在ABC中,ABAC,ABC,72.,(1)用直尺和圆规作ABC的平分线BD交AC于点D;(保,留作图痕迹,不要求写作法),(2)在(1)中作出ABC的平分线BD后,求BDC的度数.,图4-5-4,解:(1)如图D44.(2)在ABC中,ABAC,ABC72,A1802ABC18014436.BD是ABC的平分线,BDC是ABD的外角,,BDCAABD363672.,图D44,5.(2013年广东)如图4-5-5,已知平行四边形ABCD.,(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CEBC;(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)的条件下,连接AE,交CD于点F,求证:AFD,EFC.,图4-5-5,(1)解:如图D45.(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ADBC.BCCE,ADCE.ADBC,DAFCEF.在AFD和EFC中,,图D45,AFDEFC(AAS),基本作图与应用,例1:(2017年四川自贡)两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图4-5-6,某人要修建一避暑山庄,要求该山庄到A,B的距离必须相等,到CD和CE的距离也必须相等,且在DCE的内部,请画出该山庄的位置P.(不要求写作法,保留作图痕迹.),图4-5-6,思路分析根据角平分线的性质可知:到CD和CE的距离相等的点在ECD的平分线上,所以第一步作:ECD的平分线CF;根据垂直平分线的性质可知:到A,B的距离相等的点在AB的垂直平分线上,所以第二步:作线段AB的垂直平分线MN,其交点就是P点.,解:如图4-5-7,作法:作ECD的平分线CF;,图4-5-7,作线段AB的垂直平分线MN;,MN与CF交于点P,则点P就是山庄的位置.,【试题精选】,1.(2017年广西贵港)如图4-5-8,尺规作图(不写作法,保留,作图痕迹):,已知线段a和AOB,点M在OB上.(1)在OA边上作点P,使OP2a;(2)作AOB的平分线;(3)过点M作OB的垂线.,图4-5-8,解:如图D46,(1)点P为所求;(2)OC为所求;(3)MD为所求,图D46,作图与证明,例2:(2017年福建)如图4-5-9,ABC中,BAC90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明APAQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),图4-5-9,思路分析按作图方法作出角平分线BQ,然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到APQAQP,从而证得APAQ.,解:如图4-5-10,BQ就是所求作的ABC的平分线,P,,Q就是所求作的点.,图4-5-10,证明如下:ADBC,ADB90.BPDPBD90.BAC90,AQPABQ90.ABQPBD,BPDAQP.BPDAPQ,APQAQP.APAQ.,【试题精选】,2.如图4-5-11,在ABC中,ABAC,DAC是ABC,的一个外角.,实验与操作:,根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母.(保留作图,痕迹,不写作法),(1)作DAC的平分线AM;,(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交,于点E,连接AE,CF.,猜想并证明:,猜想四边形AECF的形状并加以证明.,图4-5-11,解:(1)如图D47.,图D47,(2)四边形AECF的形状为菱形理由如下:ABAC,ABCACB.AM平分DAC,DAMCAM.,DACABCACB,CAMACB.EF垂直平分AC,,OAOC,AOFCOE.,AOFCOE.OFOE,即AC和EF互相垂直平分四边形AECF的形状为菱形名师点评中考通常以基本的尺规作图为载体,在具体情境中酝酿与构建图形之间的形状、位置、大小关系,进而对相关问题进行计算、探究、发现与证明.,作图与计算,例3:(2017年浙江嘉兴)如图4-5-12,已知ABC,B,40.,(1)在图中,用尺规作出ABC的内切圆O,并标出O与边AB,BC,AC的切点D,E,F(保留痕迹,不必写作法);,(2)连接EF,DF,求EFD的度数.,图4-5-12,思路分析(1)用尺规作图的方法,作出A和C的角平,分线的交点即为内切圆O;,(2)由切线的性质可得ODBOEB90,已知B的度数,根据四边形内角和360度,可求得DOE,由圆周角定理可求得EFD.,解:(1)如图4-5-13,圆O即为所求.,图4-5-13,(2)如图4-5-13,连接OD,OE,则ODAB,OEBC.ODBOEB90.又B40,DOE140.EFD70.,【试题精选】,3.(2016年四川凉山州)如图4-5-14,在边长为1的正方形网格中,ABC的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是A(4,3),B(4,1),把ABC绕点C逆时针旋转90后得到A1B1C.,(1)画出A1B1C,直接写出点A1,B1的坐标;(2)求在旋转过程中,ABC所扫过的面积.,图4-5-14,解:(1)所求作A1B1C如图D48.,图D48,由A(4,3),B(4,1)可建立如图D48所示的平面直角坐标系,则点A1的坐标为(1,4),点B1的坐标为(1,4),1.(2017年广东)如图4-5-15,在ABC中,AB.(1)作边AB的垂直平分线DE,与AB,BC分别相交于点D,,E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);,(2)在(1)的条件下,连接AE,若B50,求AEC的度,数.,图4-5-15,解:(1)如图D49.,图D49,(2)DE是AB的垂直平分线,AEBE.,EABB50.,AECEABB100.,2.(2016年广东)如图4-5-16,已知ABC中,D为AB的中,点.,(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE;(保留,作图痕迹,不要求写作法),(2)在(1)条件下,若DE4,求BC的长.,图4-5-16,解:(1)如图D50.,图D50,(2)由三角形中位线定理,知BC2DE8.,3.(2015年广东)如图4-5-17,已知锐角三角形ABC.,(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D;(用尺规作,图法,保留作图痕迹,不要求写作法),DC的长.,图4-5-17,解:(1)如图D51.,图D51,(2)ADBC,ADBADC90.,4.(2014年广东)如图4-5-18,点D在ABC的边AB上,,且ACDA.,(1)作BDC的平分线DE,交BC于点E;(用尺规作图法,,保留作图痕迹,不要求写作法),(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系.(不,要求证明),图4-5-18,解:(1)如图D52.,图D52,(2)DEAC.,
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