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专题2.1 函数的概念及其表示【三年高考】1. 【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .【答案】【解析】要使函数有意义，必须，即，故答案应填：.2【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.，因此无最大值，所求的范围是，故填：，3【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a0,且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C4【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此5【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）.【答案】6.【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为.7.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.【答案】24【解析】由题意得：，所以时，.8.【2015高考福建，理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 【答案】9.【2015高考上海，理20】如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.10【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】由已知得即或，解得或，故选.11【2014浙江高考理第15题】设函数若，则实数的取值范围是_【答案】12.【2014辽宁高考理第12题】已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有.若对所有，则k的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】不妨令，则法一： ，即得， 另一方面，当时，符合题意，当时，故法二：当时， ，当时，故【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的定义域和值域，以及求函数解析式，求函数值，与最值，分段函数求值等【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 函数作为基础知识，单独命题不多，常以求函数解析式来考查立体几何，解析几何，数列，向量，三角函数等内容最值等问题.具体对函数概念的考查，一般不会以具体形式出现，而是考查通过映射理解函数的本质，体会蕴含在其中的函数思想对函数定义域的考察，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，而且一般是一个具体的函数，故难度较低对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若在选择题、填空题中出现，则难度较低；若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大对函数表示的考查，通过具体问题（几何问题和实际应用）为背景，寻求变量间的函数关系，再求函数的定义域和值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果对分段函数的考察是重点和热点，往往会以工具的形式和其他知识点结合起来考，以新颖的题型考察函数知识，难度会大点在2017年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习.由于本单元知识点的高考题,难度不大.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型.由于2016年高考全国卷中对函数概念考查较少,预测2017年高考可能会有以分段函数的形式考查函数概念和函数性质的题目出现【2017年高考考点定位】高考对函数概念及其表示的考查有三种主要形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点1】函数的概念与映射的概念【备考知识梳理】1.近代定义： 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为2.传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y,，若对于每一个确定的x的值，都有唯一确定的值y与之对应，则x是自变量，y是x的函数3.符号表示集合到集合的一个映射，它有以下特点：(1)对应法则有方向性, 与不同;(2)集合中任何一个元素,在下在集合中都有唯一的元素与对应;(3)象不一定有原象,象集与间关系是.【规律方法技巧】1. 判定一条曲线是函数图象的方法：作与x轴垂直的直线，若直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是函数的图象2. 分段函数求值：给定自变量求函数值时，要确定自变量所属区间，从而代入相应的函数解析式；分段函数知道函数值或函数值范围求自变量或自变量取值范围时，要分类讨论并和相应的自变量区间求交集，进而得结果3.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合中元素的任意性，集合中元素的唯一性”【考点针对训练】1.给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；是函数；函数的图象是一条直线；与是同一个函数其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【答案】2. 设集合是两个集合，；.则上述对应法则中，能构成到的映射的个数是（ ）A B C D【答案】C【解析】对于，由对应法则，中的元素在中没有对应的象【考点2】函数的表示【备考知识梳理】1表示函数的方法有列表法、图象法、解析式法，最常用的方法是解析式法，尤其在实际问题中需要建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域2. 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示【规律方法技巧】求函数的解析式的常用方法：1.代入法：如已知求时，有.2.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.3.拼凑法：已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示，再将解析式的两边的用代替即可.4.换元法：令，在求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可.5.方程组法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.7.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解8.应用题求解析式可用待定系数法求解注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错【考点针对训练】1. 【2016届吉林省东北师大附中高三五模】设，定义符号函数，则下列正确的是（ ）A BC D【答案】A【解析】时，时，所以，A正确故选A2.定义在内的函数满足，求 【答案】，【考点3】分段函数及其应用【备考知识梳理】1分段函数是一个函数，而不是几个函数；2分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；【规律方法技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则【考点针对训练】1. 【2016年河北石家庄高三二模】已知则的值为 .【答案】【解析】因为，所以，当时，所以，所以有.2. 【2016年江西九江市高三三模】已知函数满足，求的值.【考点4】定义域和值域【备考知识梳理】在实际问题中，通过选择变量，写出函数解析式，进而确定定义域和值域，再研究函数的性质是函数思想解决实际问题的体现，定义域就是使得实际问题或者具体问题有意义的自变量的取值范围，值域就是与定义域相应的函数值的取值范围1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.2求函数定义域的步骤：写出使函数有意义的不等式（组）；解不等式（组）；写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）3.在函数中与自变量相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.4.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用【规律方法技巧】1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.3.求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.4.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.6.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决7.函数值域的求法:利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.利用三角函数的有界性,如.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【考点针对训练】1.已知的定义域为，则函数的定义域为 .【答案】【解析】令，知的定义域为，所以，即，解得，所以所求函数的定义域为.2. 【2016届山东省莱芜市高三上期末】函数的定义域为（ ）Ax|x0 Bx|x10 Cx|x1 Dx|x1【答案】C【解析】函数，解得，即x1，f（x）的定义域为x|x1故选：C3. 【2016届浙江省杭州学军中学高三5月高考模拟】已知实数，若则的值域为 【答案】4.已知函数，试判断此函数在上的单调性，并求此函数在上的最大值和最小值.【答案】最大值和最小值分别为2和【解析】设、是区间2,6上的任意两个实数,且, 则 =- =.由于，得，,于是,即. 所以函数是区间2,6上的减函数. 因此函数在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值, 故函数在上的最大值和最小值分别为2和. 【应试技巧点拨】 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同 定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行 求函数解析式的几种常用方法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法分段函数体现了数学的分类讨论思想,求解分段函数求值问题时应注意的问题:()应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论()若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围二年模拟1. 【2016年山西四校第三次联考】已知集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B2. 【2016年广东省茂名二模】设函数,则 ( )A7 B.9 C.11 D.13【答案】A【解析】3，因为，所以4，所以，347.3. 【2016年江西省九江市三模】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】当时，不符题意；当时，则.4. 【2016年榆林高三二模】定义域为的函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】5. 【河北省衡水中学2016届高三一调】已知函数，则的值等于（ ）A B C D0【答案】C【解析】由函数的解析式是可得，选C 6. 【湖南省衡阳市第八中学2016届高三第三次月考】若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 【答案】【解析】由已知，而函数为奇函数又函数最大值为，最小值为，且，7. 【2016年江西省九江市三模】若函数定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】，.8. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】已知函数且，在各项为正的数列中，的前项和为，若，则_【答案】69.【2016届山西省四校高三四校联考】若定义在区间上的函数满足：对使得恒成立，则称函数在区间上有界.则下列函数中有界的是： .；，其中.【答案】【解析】对于，显然存在，对，使得恒成立，所以是有界的；对于，的定义域是，且为奇函数，当时，的值域是，故不存在，使得恒成立，所以不是有界的；对于，由于其值域是，故不存在，使得恒成立，所以不是有界的；对于，设，则，可得，即值域为，而定义域为，故存在，对，恒成立，所以是有界的；对于，其中，由于是闭区间上的连续函数，故必有最大值和最小值，设，则对，,使得恒成立，所以，其中是有界的；综上可知答案应填.10. 【江西省南昌市第二中学2016届高三第四次考试】函数，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为 【答案】11. 【湖南省长望浏宁四县2015届高三3月调研】函数的定义域是( ).A B C D【答案】D【解析】 要使函数有意义应满足，解得12. 【江西省南昌市第二中学2016届高三第四次考试】（河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测）若函数,在区间上的值域为， 则等于（ ） (A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】，且，所以是以点为对称中心，所以其最大值与最小值的和.所以答案为D.13.【河南省开封市2015届高三上学期期末模拟试题】设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有（是自然对数的底数），则（ ）A.1 B. C.3 D.【答案】C14. 【广东省广州市2015届高中毕业班综合测试】已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足: 对任意，以及任意R , 都有, 则称映射具有性质. 给出如下映射: R , , iR; R , , iR; R , , iR;其中, 具有性质的映射的序号为（ ）A B C D 【答案】B【解析】设，（，），则，对于，而，具有性质；对于，而，因为 ，所以不具有性质；对于，而，具有性质所以具有性质的映射的序号为 ，故选B15. 【湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研】函数的最大值为.【答案】拓展试题以及解析1. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【入选理由】本题考查函数的最值与导数的关系、函数的单调性等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.函数的最值是高考考试的重点，故选此题.2. 如果对定义在上的函数，对任意，均有成立，则称函数为“函数”.给出下列函数：；其中函数是“函数”的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】【入选理由】本题考查新定义函数问题，考查对新定义的理解与应用能力以及基本的逻辑推理能力等新定义问题是考查学生接受新事物能力，一般紧扣住题意即可，往往学生对新知识理解不到位容易出错，故选此题.3. 已知函数，若，则（ ）A2 B1 C1 D2【答案】B【解析】因为，所以，故选B【入选理由】分段函数在自变量的不同范围内解析式不同，本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力,故选此题.4.函数，若，则_【答案】0【解析】因为，则，于是舍去，当时，因此要使函数在上为凸函数，须【入选理由】本题考查分段函数的求值等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、分类思想此题比较典型，故押此题.5. 设函数，则的定义域为 【答案】【入选理由】本题主要考查函数的定义域以及不等式的求解，考查基本的运算能力.复合函数的定义域是高考经常考试的题型，故押此题.6. 定义在上的偶函数，对任意的，都有，且函数在上为减函数，则下列结论中错误的是（ ）ABC的解析式可能为D若与有且仅有三个交点,则的值域为【答案】D.【入选理由】本题主要考查抽象函数的性质、三角函数的化简与性质，平面图形中的圆与抽象函数图象的交点，考查学生的运算能力、数形结合分析问题、解决问题的能力.，抽象函数也是高考考试方向，故选此题.
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