高中数学 第三章 导数及其应用 学业分层测评19 生活中的优化问题举例 新人教A版选修1-1

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 学业分层测评19 生活中的优化问题举例 新人教A版选修1-1 (建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为()A6 mB8 mC4 mD2 m【解析】设底面边长为x m,高为h m,则有x2h256,所以h.所用材料的面积设为S m2,则有S4xhx24xx2x2.S2x,令S0得x8,因此h4(m)【答案】C2某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()A150B200C250D300【解析】由题意可得总利润P(x)300x20 000,0x390.由P(x)0,得x300.当0x300时,P(x)0;当300x390时,P(x)0,所以当x300时,P(x)最大故选D.【答案】D3某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A32,16B30,15C40,20D36,18【解析】要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L2x(x0),则L2.令L0,得x16或x16(舍去)此时长为32(米),可使L最小【答案】A4某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关系:Q8 300170PP2,则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元D23 000元【解析】毛利润为(P20)Q,即f(P)(P20)(8 300170PP2),f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30)令f(P)0,得P30或P130(舍去)又P20,),故f(P)maxf(P)极大值,故当P30时,毛利润最大,f(P)maxf(30)23 000(元)【答案】D5三棱锥OABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC2x,OAx,OBy,且xy3,则三棱锥OABC体积的最大值为()A4B8C. D.【解析】Vy(0x3),V2xx2x(2x)令V0,得x2或x0(舍去)x2时,V最大为.【答案】C二、填空题6做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为_【解析】设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则VR2L27,所以L.要使用料最省,只需使圆柱表面积最小S表R22RLR22,令S表2R0,得R3,即当R3时,S表最小【答案】37已知某矩形广场面积为4万平方米,则其周长至少为_米. 【导学号:26160099】【解析】设广场的长为x米,则宽为米,于是其周长为y2(x0),所以y2,令y0,解得x200(x200舍去),这时y800.当0x200时,y200时,y0.所以当x200时,y取得最小值,故其周长至少为800米【答案】8008某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1,每月库存货物的运费y2k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2得k120;由810k2得k2.两项费用之和为y(x0),y,令y0,得x5或x5(舍去)当0x5时,y0;当x5时,y0.当x5时,y取得极小值,也是最小值当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小【答案】5三、解答题9(2016武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)200xx3(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?【解】设该厂生产x件这种产品利润为L(x),则L(x)500x2 500C(x)500x2 500300xx32 500(xN),令L(x)300x20,得x60(件),又当0x60时,L(x)0,x60时,L(x)0和x0,得0x1.6.设容器容积为y m3,则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6),y6x24.4x1.6.令y0,得x11,x2(舍去),当0x0;当1x1.6时,y0,f(x)是递增的;x时,f(x)0,f(x)是递减的,当x时,f(x)取最大值.【答案】4某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0;当x时,f(x)0.所以,当x时,f(x)取得极大值,f20 000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值故当x时,本年度的年利润最大,最大利润为20 000万元
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