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一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3维数基与坐标,引入,即线性空间的构造如何?,怎样才能便于运算?,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来?,这些元素之间的关系又如何呢?,(基的问题),问题,线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达?,(坐标问题),一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V是数域P上的一个线性空间,则称向量可经向量组线性表出;,使,若向量组中每一向量皆可经向量组,线性表出,则称向量组,可经向量组线性表出;,若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组,为等价的,,使得,则称向量组为线性相关的;,(4)如果向量组不是线性相关的,即,只有在时才成立,,则称为线性无关的,(1)单个向量线性相关,单个向量线性无关,向量组线性相关,中有一个向量可经其余向量线性表出,2、有关结论,(2)若向量组线性无关,且可被,向量组线性表出,则,若与为两线性无关的,等价向量组,则,(3)若向量组线性无关,但向量组,线性相关,则可被向量组,线性表出,且表法是唯一的,二、线性空间的维数、基与坐标,1、维数,定义,如果在线性空间,中有n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的.,因为,对任意的正整数n,都有n个线性无关的向量,例1所有实系数多项式所成的线性空间Rx是,无限维的.,1,x,x2,xn1,下面主要讨论有限维线性空间.,在n维线性空间V中,n个线性无关的向量,2.基坐标,,称为V的一组基;,下的坐标,记为,设为线性空间V的一组基,,则数组,就称为在基,若,有时也形式地记作,注意:,唯一确定的即向量在基下的坐标唯一的.,但是,在不同基下的坐标一般是不同的,4、线性空间的基与维数的确定,定理:若线性空间V中的向量组满足,)线性无关;,)可经线性表出,则V为n维线性空间,为V的一组基,证明:线性无关,,V的维数至少为n,任取V中n1个向量,,由),向量组可用向量组,若是线性无关的,则n1n,矛盾,线性表出.,V中任意n1个向量是线性相关的,故,V是n维的,就是V的一组基,例23维几何空间R3,是R3的一组基;,也是R3的一组基,一般地,向量空间,为n维的,,就是Pn的一组基称为Pn的标准基.,n维线性空间V的基不是唯一的,V中任意n个,任意两组基向量是等价的,例3(1)证明:线性空间Pxn是n维的,且,注意:,线性无关的向量都是V的一组基,(2)证明:1,xa,(xa)2,(xa)n1,1,x,x2,xn1为Pxn的一组基,也为Pxn的一组基,证:(1)首先,1,x,x2,xn1是线性无关的,1,x,x2,xn1为Pxn的一组基,,从而,Pxn是n维的.,其次,,可经1,x,x2,xn1线性表出,注:,在基1,x,x2,xn1下的坐标就是,此时,,(2)1,xa,(xa)2,(xa)n1是线性无关的,即,f(x)可经1,xa,(xa)2,(xa)n1线性表出.,1,xa,(xa)2,(xa)n1为Pxn的一组基,在基1,xa,(xa)2,(xa)n1下的坐标是,注:,此时,,若把C看成是实数域R上的线性空间呢?,而实数域R上的线性空间C为2维的,数1,i就为,例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基;,解:,复数域C上的线性空间C是1维的,数1就是它的,一组基;,它的一组基,注:任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的,数1就是它的一组基.,例5.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里,解:,下证线性无关.设,得齐次线性方程组,其系数行列式,方程组只有零解:,故线性无关.,又由知,任意均可表成的线性组合,,所以V为三维线性空间,就是V的一组基.,
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