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2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试卷第I卷(选择题共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,则( )A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)2已知命题::在中,“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件;:.则下列命题为真命题的是( )A B C D3已知平面向量,满足|=1,|=2,且,则与的夹角为( )A B C D4已知函数,则下列结论中正确的是( )A关于点中心对称 B关于直线轴对称C向左平移后得到奇函数 D向右平移后得到偶函数5已知函数是函数的导函数,则的图象大致是( )(A)(B) (C) (D) 6某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数,k,b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是( )A16小时 B20小时 C24小时 D28小时7如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,则BC的长为 ( )A8 B9 C14 D88若是定义在上的奇函数,满足,当时,则的值等于( )A B C D9记maxx,y,minx,y,设a,b为平面向量,则( )Amin|ab|,|ab|min|a|,|b| Bmin|ab|,|ab|min|a|,|b|Cmax|ab|2,|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2,|ab|2|a|2|b|210已知是定义在上的函数,对任意两个不相等的正数,都有,记,则( )A B C D 11定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A. B. C. D. 12函数f(x)在a,b上有定义,若对任意x1,x2a,b,有f()f(x1)f(x2),则称f(x)在a,b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质P,现给出如下命题:f(x)在1,3上的图象是连续不断的;f(x2)在1, 上具有性质P;若f(x)在x2处取得最大值1,则f(x)1,x1,3;对任意x1,x2,x3,x41,3,有f()f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是 ( )A B C D第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13由抛物线yx21,直线x0,x2及x轴围成的图形面积为 14曲线C:f(x)sin xex2在x0处的切线方程为 15若函数在区间内是减函数,则的取值范围是 16已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是 .三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中, 、分别为角A、B、C的对边,若,且.(1)求角A的大小;(2)当,且ABC的面积错误!未找到引用源。时,求边的值和ABC的面积18(本小题满分12分)在四棱锥中,平面平面,为等边三角形,点是的中点(I)求证:平面;(II)求二面角的余弦值;19(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望E()20(本小题满分12分)已知椭圆的短轴长为2,离心率为,直线与椭圆交于两点,且线段AB的垂直平分线通过点()求椭圆的标准方程;()求(为坐标原点)面积的最大值21(本题满分12分)已知函数(I) 求函数在上的最大值;(II)如果函数的图像与轴交于两点、,且.是的导函数,若正常数满足.求证:请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图, 四点在同一个圆上,与的延长线交于点,点在的延长线上.(1)若,求的值;(2)若,证明: 23(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,取原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为: (为参数)(I )求曲线的直角坐标方程,直线的普通方程;(II)先将曲线上所有的点向左平移1个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线,为曲线上一动点,求点到直线距离的最小值,并求出相应的点的坐标24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试答案一、选择题:题号123456789101112答案CDBDACACDBDB二、填空题:13. 2 ; 14. 2xy30 ; 15. ; 16. 第10题解答:由新定义知,maxx,y是x与y中的较大值,minx,y是x,y中的较小值,据此可知A、B是比较|ab|与|ab|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小,由平行四边形法则知其大小与a,b有关,故A、B错;当a,b为锐角时,|ab|ab|,此时|ab|2|a|2|b|2.当a,b为钝角时,|ab|ab|,此时|ab|2|a|2|b|2|ab|2.当a,b90时,|ab|ab|,此时|ab|2|a|2|b|2.第12题解答:令f(x),可知x1,x21,3都有f()f(x1)f(x2)但函数f(x)在1,3上的图象不连续,故不正确排除A、C;取函数f(x)x,1x3,则函数满足题设条件具有性质P,但f(x2)x2,1x就不具有性质P,故为假命题,排除D.应选B.三、解答题:17解:(1)由于mn,所以mn = 2sin2错误!未找到引用源。+cos 2A+1=2sin2错误!未找到引用源。+2cos2A= 2cos2错误!未找到引用源。+2cos2A =2cos2Acos A1 = (2cos A+1)(cos A1) = 0. .4分所以cos A= -错误!未指定书签。或1(舍去), .6分(2)由S=错误!未找到引用源。及余弦定理得 tan C=错误!未找到引用源。,C=错误!未指定书签。=B. .8分又由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得,.10分所以ABC的面积S=错误!未指定书签。acsin B=错误!未找到引用源。 .12分18()证明:取中点,连结.因为 为中点 ,所以 .因为.所以且.所以四边形为平行四边形,所以 .因为 ,平面,所以平面. .5分() 取中点,连结因为 ,所以.因为 平面平面,平面平面,平面,所以.6分取中点,连结,则以为原点,如图建立空间直角坐标系, .7分设则 .9分平面的法向量,设平面的法向量,由得令,则.10分 .11分 由图可知,二面角是锐二面角, 所以二面角的余弦值为. .12分19 解答(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1P()1p,解得p.4分(2)由题意,的所有可能取值为0,1,2,35分P(0)C3, P(1)C2,P(2)C2, P(3)C3. 9分所以,随机变量的概率分布列为0123P10分故随机变量的数学期望:E()0123.12分20解:()由已知可得解得, 2分故椭圆的标准方程为 3分()设,联立方程消去得 4分当,即时, 5分, 6分所以,当时,线段的垂直平分线显然过点 因为,所以,当时,取到等号. 8分当时,因为线段的垂直平分线过点,所以,化简整理得 由得 9分又原点到直线的距离为所以 10分而且, 则 所以当,即时,取得最大值 11分综上,最大值为 12分21解:() 的定义域为由得到:,令得(舍去)当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减,是极大值,也是最大值.所以最大值为4分(),又有两个不等的实根,则,两式相减得到: 6分于是,8分要证:,只需证:只需证: 9分令,只需证:在*u上恒成立,又 10分,则,于是由可知,故知在*u上为增函数,则,从而知,即成立,从而原不等式成立.12分22解:(1):因为 四点共圆;,又,又.5分证明:(2),又,又因为 四点共圆;.10分23.解:() , 由,得, 曲线的直角方程为.2分由,消去解得:直线的普通方程为.4分()由已知得曲线的方程为 ,6分设点(), 点到直线的距离为 =,8分由三角函数的性质知,当=时,取得最小值,此时, 所以点坐标为.10分24. 解: (1)由得 , ,解得 所以原不等式的解集为. .4分 (2)因为对任意,都有,使得 成立所以 ,有,所以从而 或. 所以 实数的取值范围.10分
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