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东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1.已知集合，则 A. B C D2.复数等于A B C D3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则输入的整数的可能值为 A.5 B.6 C.8 D.154. 已知直线,且于,为坐标原点, 则点的轨迹方程为 ABCD 5.函数在点处的切线方程是 A. B. C. D.6.“等式成立”是“成等差数列”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，是数列的前项的和，则 A.1008 B.2016 C.2032 D.40328.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A B C D9.半径为的球面上有四点，两两互相垂直，则面积之和的最大值为 A8 B16 C32 D.6410.设等差数列的前项和为，若，则中最大的是 A B C D11.已知函数（其中），且函数的两个极值点为设，则 A B C D12.设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于点两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（） A B C D 第卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若是数列的前项的和，且，则数列的最大项的值为_.14.设,则二项式展开式中的第项为_.15.已知正方形的边长为，点为的中点以为圆心，为半径，作弧交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值为_.16.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围_.3、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本题满分12分） 已知函数 （I）求函数的最小正周期； （）求使函数取得最大值的的集合18.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，点分别为和中点.()求证：直线；()求与平面所成角的正弦值.19. （本小题满分12分） 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶） （I）若治安满意度不低于分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率； （II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望20.（本小题满分12分） 如图，已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点（）求椭圆的方程；（）若直线交轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由.21. （本小题满分12分） 设和是函数的两个极值点,其中 ,. () 求的取值范围; () 若,求的最大值.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图所示，已知的半径长为4，两条弦相交于点，若，为的中点，. () 求证：平分； ()求的度数.23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. () 分别写出曲线与曲线的普通方程； ()若曲线与曲线交于两点，求线段的长.24.（本小题满分10分） 选修45：不等式选讲 已知函数. ()求不等式的解集； ()若函数的最小值为，且，求的最小值.东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.12 14. 15. 16.1，1三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) cos2(x)+1 =2sin2(x)+1 = 2sin(2x) +1 T= ()当f(x)取最大值时, sin(2x)=1,有 2x =2k+ 即x=k+ (kZ) 所求x的集合为xR|x= k+ , (kZ).18.解：()证明：作FMCD交PC于M. 点F为PD中点，. 2分 ，AEMF为平行四边形，AFEM， 4分，直线AF平面PEC. 6分()，.如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),A(，0)，. 8分设平面PAB的一个法向量为.，取，则，平面PAB的一个法向量为. 10分设向量，PC平面PAB所成角的正弦值为. .12分19.20.解：（）易知椭圆右焦点F（1，0），c=1，抛物线的焦点坐标，b2=3a2=b2+c2=4椭圆C的方程（）易知m0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）0又由同理所以，当m变化时，1+2的值为定值；（）证明：由（）知A（x1，y1），B（x2，y2），D（4，y1），E（4，y2）方法1）当时，=点在直线lAE上，同理可证，点也在直线lBD上；当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）=kEN=kANA、N、E三点共线，同理可得B、N、D也三点共线；当m变化时，AE与BD相交于定点解:函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . 所以, 故的取值范围是 ()解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是 22.（本小题满分10分）解：（1）由为的中点，得又又故平分5分（2）连接，由点是弧的中点，则，设垂足为点，则点为弦的中点，连接，则，10分23.（本小题满分10分）解：（1）曲线，2分曲线：4分（2）联立，得，设，则于是.故线段的长为.10分24.（本小题满分10分）解：（1）由知，于是，解得，故不等式的解集为；3分（2）由条件得，当且仅当时，其最小值，即6分又，8分所以，故的最小值为，此时.10分12分
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