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东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟数学试题(理科)考试时间:120分钟 试卷满分:150分第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1.已知集合,则 A. B C D2.复数等于A B C D3.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则输入的整数的可能值为 A.5 B.6 C.8 D.154. 已知直线,且于,为坐标原点, 则点的轨迹方程为 ABCD 5.函数在点处的切线方程是 A. B. C. D.6.“等式成立”是“成等差数列”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列中,成等差数列,是数列的前项的和,则 A.1008 B.2016 C.2032 D.40328.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A B C D9.半径为的球面上有四点,两两互相垂直,则面积之和的最大值为 A8 B16 C32 D.6410.设等差数列的前项和为,若,则中最大的是 A B C D11.已知函数(其中),且函数的两个极值点为设,则 A B C D12.设双曲线的右焦点为,过点作轴的垂线交两渐近线于点两点,且与双曲线在第一象限的交点为,设为坐标原点,若,则双曲线的离心率为() A B C D 第卷(非选择题 共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.若是数列的前项的和,且,则数列的最大项的值为_.14.设,则二项式展开式中的第项为_.15.已知正方形的边长为,点为的中点以为圆心,为半径,作弧交于点,若为劣弧上的动点,则的最小值为_.16.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围_.3、 解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本题满分12分) 已知函数 (I)求函数的最小正周期; ()求使函数取得最大值的的集合18.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面是菱形,点分别为和中点.()求证:直线;()求与平面所成角的正弦值.19. (本小题满分12分) 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) (I)若治安满意度不低于分,则称该人的治安满意度为“极安全”,求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极安全”的概率; (II)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极安全”的人数,求的分布列及数学期望20.(本小题满分12分) 如图,已知直线过椭圆的右焦点,抛物线:的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点,点在直线上的射影依次为点()求椭圆的方程;()若直线交轴于点,且,当变化时,探求的值是否为定值?若是,求出的值,否则,说明理由.21. (本小题满分12分) 设和是函数的两个极值点,其中 ,. () 求的取值范围; () 若,求的最大值.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲 如图所示,已知的半径长为4,两条弦相交于点,若,为的中点,. () 求证:平分; ()求的度数.23(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. () 分别写出曲线与曲线的普通方程; ()若曲线与曲线交于两点,求线段的长.24.(本小题满分10分) 选修45:不等式选讲 已知函数. ()求不等式的解集; ()若函数的最小值为,且,求的最小值.东北育才高中部第三次模拟数学(理科)答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.12 14. 15. 16.1,1三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) cos2(x)+1 =2sin2(x)+1 = 2sin(2x) +1 T= ()当f(x)取最大值时, sin(2x)=1,有 2x =2k+ 即x=k+ (kZ) 所求x的集合为xR|x= k+ , (kZ).18.解:()证明:作FMCD交PC于M. 点F为PD中点,. 2分 ,AEMF为平行四边形,AFEM, 4分,直线AF平面PEC. 6分(),.如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),A(,0),. 8分设平面PAB的一个法向量为.,取,则,平面PAB的一个法向量为. 10分设向量,PC平面PAB所成角的正弦值为. .12分19.20.解:()易知椭圆右焦点F(1,0),c=1,抛物线的焦点坐标,b2=3a2=b2+c2=4椭圆C的方程()易知m0,且l与y轴交于,设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)由=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)0又由同理所以,当m变化时,1+2的值为定值;()证明:由()知A(x1,y1),B(x2,y2),D(4,y1),E(4,y2)方法1)当时,=点在直线lAE上,同理可证,点也在直线lBD上;当m变化时,AE与BD相交于定点方法2)=kEN=kANA、N、E三点共线,同理可得B、N、D也三点共线;当m变化时,AE与BD相交于定点解:函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . 所以, 故的取值范围是 ()解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是 22.(本小题满分10分)解:(1)由为的中点,得又又故平分5分(2)连接,由点是弧的中点,则,设垂足为点,则点为弦的中点,连接,则,10分23.(本小题满分10分)解:(1)曲线,2分曲线:4分(2)联立,得,设,则于是.故线段的长为.10分24.(本小题满分10分)解:(1)由知,于是,解得,故不等式的解集为;3分(2)由条件得,当且仅当时,其最小值,即6分又,8分所以,故的最小值为,此时.10分12分
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