九年级数学上学期期中试卷（含解析） 新人教版4

2015-2016学年浙江省宁波市风华书院九年级（上）期中数学试卷一选择题1.已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A2B2C2D2已知O的半径为5，若PO=4，则点P与O的位置关系是（）A点P在O内B点P在O上C点P在O外D无法判断3若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）Ay=2（x1）25By=2（x1）2+5Cy=2（x+1）25Dy=2（x+1）2+54一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A至少有1个球是黑球B至少有1个球是白球C至少有2个球是黑球D至少有2个球是白球5从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABCD6下列四个命题中，正确的个数有（）圆的对称轴是直径；经过三点可以确定一个圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧；平分弦的直径垂直于弦A1个B2个C3个D4个7一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）ABCD18如图，四边形ABCD内接于O，已知ADC=140，则AOC的大小是（）A80B100C60D409如图，抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式x2+bx+c0的解的范围是（）A4x1B3x1Cx4或x1Dx3或x110如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD已知DE=6，BAC+EAD=180，则弦BC的弦心距等于（）ABC4D311已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x245y=ax2+bx+c0.370.374那么（a+b+c）（+）的值为（）A24B20C10D412二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2（4k+1）xk+1（k为实数）夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生独立思考后，黑板上出现了一些结论夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：存在函数，其图象经过点（1，0）；存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；函数图象有可能经过两个象限；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数上述结论中正确个数为（）A1个B2个C3个D4个二填空题13抛物线y=x21的顶点坐标是14事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是15如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC若CAB=22.5，CD=8cm，则O的半径为 cm16将抛物线y=2x212x+16绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是172013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为米18如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m三解答题（本大题有8小题，共78分）19在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），将AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出AEF，并写出点E，F的坐标20已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积21一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率22如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长23如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案：y=2x2+3x4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答24某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由25已知AB是O的直径，半径OCAB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且 BE=AD（1）试判断CDE的形状，并加以证明（2）若ABD=15，AO=4，求DE的长26如图，抛物线y=ax2x+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年浙江省宁波市风华书院九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（1998温州）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A2B2C2D【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】因为点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，所以（a，8）符合解析式，代入解析式得8=a3，即a=2【解答】解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2故选A【点评】要明确点在函数图象上即点的坐标符合解析式2已知O的半径为5，若PO=4，则点P与O的位置关系是（）A点P在O内B点P在O上C点P在O外D无法判断【考点】点与圆的位置关系【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，当rd时，点P在O内，当r=d时，点P在O上，当rd时，点P在O外，根据以上内容判断即可【解答】解：O的半径为5，若PO=4，45，点P与O的位置关系是点P在0内，故选A【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，当rd时，点P在O内，当r=d时，点P在O上，当rd时，点P在O外3若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）Ay=2（x1）25By=2（x1）2+5Cy=2（x+1）25Dy=2（x+1）2+5【考点】二次函数图象与几何变换【分析】抛物线平移不改变a的值【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）可设新抛物线的解析式为y=2（xh）2+k，代入人得：y=2（x1）25故选B【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标4一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A至少有1个球是黑球B至少有1个球是白球C至少有2个球是黑球D至少有2个球是白球【考点】随机事件【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件故选A【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABCD【考点】圆周角定理【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案【解答】解：直径所对的圆周角等于直角，从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B故选：B【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用6下列四个命题中，正确的个数有（）圆的对称轴是直径；经过三点可以确定一个圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧；平分弦的直径垂直于弦A1个B2个C3个D4个【考点】命题与定理【分析】根据对称轴的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据三角形外心得性质对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断【解答】解：圆的对称轴是直径所在的性质，所以错误；经过不共线的三点可以确定一个圆，所以错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以正确；半径相等的两个半圆是等弧，所以正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以错误故选B【点评】本题考查了命题与定理：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理7一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）ABCD1【考点】列表法与树状图法【分析】根据概率的计算公式颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是；故选B【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=8如图，四边形ABCD内接于O，已知ADC=140，则AOC的大小是（）A80B100C60D40【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理【分析】根据圆内接四边形的性质求得ABC=40，利用圆周角定理，得AOC=2B=80【解答】解：四边形ABCD是O的内接四边形，ABC+ADC=180，ABC=180140=40AOC=2ABC=80故选A【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出B的度数是解题关键9如图，抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式x2+bx+c0的解的范围是（）A4x1B3x1Cx4或x1Dx3或x1【考点】二次函数与不等式（组）【分析】观察函数图象可得知：该抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），抛物线的对称轴为x=1根据抛物线的对称性即可找出另一交点坐标，结合函数图象开口向下，即可得出不等式的解集【解答】解：抛物线与x轴的一个交点为（1，0），抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），抛物线开口向下，关于x的不等式x2+bx+c0的解集为3x1故选B【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数与不等式，解题的关键是求出抛物线与x轴的另一交点坐标本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是关键10如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD已知DE=6，BAC+EAD=180，则弦BC的弦心距等于（）ABC4D3【考点】圆周角定理；勾股定理；旋转的性质【专题】计算题【分析】作AHBC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到DAE=BAF，再证明ADEABF，得到DE=BF=6，由AHBC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3【解答】解：作AHBC于H，作直径CF，连结BF，如图，BAC+EAD=180，而BAC+BAF=180，DAE=BAF，=，DE=BF=6，AHBC，CH=BH，而CA=AF，AH为CBF的中位线，AH=BF=3故选：D【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理和三角形中位线性质11已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x245y=ax2+bx+c0.370.374那么（a+b+c）（+）的值为（）A24B20C10D4【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】计算题【分析】把x=2，y=0.37；x=4，y=0.37代入解析式得到b=6a，则可确定抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性得到x=1时，y=4，即a+b+c=4，然后利用整体代入的方法计算（a+b+c）（+）的值【解答】解：x=2，y=0.37；x=4，y=0.37，12a+2b=0，解得b=6a，抛物线的对称轴为直线x=3，x=1与x=5时的函数值相等，x=1时，y=4，即a+b+c=4，（a+b+c）（+）=4（）=4（）=24故选A【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标12二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2（4k+1）xk+1（k为实数）夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生独立思考后，黑板上出现了一些结论夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：存在函数，其图象经过点（1，0）；存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；函数图象有可能经过两个象限；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数上述结论中正确个数为（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征【分析】将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据即可作出判断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断【解答】解：将（1，0）代入可得：2k（4k+1）k+1=0，解得：k=0，此选项正确当k=0时，y=x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；y=x+1，经过3个象限，此选项错误；当k=0时，函数无最大、最小值；k0时，y最=，当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正；此选项正确正确的是故选：C【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法二填空题13抛物线y=x21的顶点坐标是（0，1）【考点】二次函数的性质【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标【解答】解：抛物线y=x21的顶点坐标为（0，1）故答案是：（0，1）【点评】本题考查了二次函数的性质二次函数的顶点式方程y=a（xk）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k14事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是5【考点】概率的意义【分析】根据概率的意义解答即可【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100=5故答案为：5【点评】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键15如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC若CAB=22.5，CD=8cm，则O的半径为4 cm【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理【专题】计算题【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径【解答】解：连接OC，如图所示：AB是O的直径，弦CDAB，CE=DE=CD=4cm，OA=OC，A=OCA=22.5，COE为AOC的外角，COE=45，COE为等腰直角三角形，OC=CE=4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键16将抛物线y=2x212x+16绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是y=2（x3）22，【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案【解答】解：y=2x212x+16，顶点式y=2（x3）22，抛物线y=2x212x+16绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是 y=2（x3）22，故答案为：y=2（x3）22【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律172013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为5米【考点】二次函数的应用【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离，进而求出即可【解答】解：当y=0时，0=x2+x+，解得：x1=1（舍去），x2=5，故羽毛球飞出的水平距离为5m故答案为：5【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出图象与x轴交点坐标是解题关键18如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m【考点】正多边形和圆【专题】应用题【分析】设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直设长方形的摊位长是2xm，在直角OAD和直角OBC中，利用勾股定理和三角函数表示出OC和OD的长，根据OCOD=1即可列方程求得【解答】解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直设长方形的摊位长是2xm，在直角OAD中，AOD=30，AD=xm，则OD=xm，在直角OBC中，OC=，OCOD=CD=1，x=1，解得：x=，则2x=故答案是：【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键三解答题（本大题有8小题，共78分）19在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），将AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出AEF，并写出点E，F的坐标【考点】作图-旋转变换【专题】作图题；平移、旋转与对称【分析】以A为旋转中心，AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF，如图所示，确定出E与F坐标即可【解答】解：如图所示，AEF就是所求作的三角形； 根据图形得：点E的坐标是（3，3），点F的坐标是（3，1）【点评】此题考查了作图旋转性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键20已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式【专题】计算题【分析】（1）设出二次函数的顶点式y=a（x1）2+4，将点（0，3）代入解析式，求出a的值即可得到函数解析式；（2）令y=0，据此即可求出函数与x轴交点的横坐标，从而得到图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）由于知道C点坐标，根据A、B的坐标，求出AB的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积【解答】解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=a（x1）2+4，把x=0，y=3代入上式，得：3=a（01）2+4，解得：a=1，所求的二次函数解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2）当y=0时，0=x2+2x+3，解得：x1=1，x2=3，图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），（3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB=4，SABC=43=6【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令x=0、y=0，据此即可求出与坐标轴的交点21一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率【考点】列表法与树状图法；概率公式【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：P（摸得两白）=【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22（2015威海）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理【专题】证明题【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为O的直径得到AEC=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明BEDBAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长【解答】（1）证明：连结AE，如图，AC为O的直径，AEC=90，AEBC，而AB=AC，BE=CE；（2）连结DE，如图，BE=CE=3，BC=6，BED=BAC，而DBE=CBA，BEDBAC，=，即=，BA=9，AC=BA=9【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理23（2015义乌市）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案：y=2x2+3x4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=1，进而得出抛物线的解析式【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y=x22x+2；（2）定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且1+2b+c+1=1，c=12b，顶点纵坐标c+b2+1=22b+b2=（b1）2+1，当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=1，抛物线的解析式为y=x2+2x【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式24（2013青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据利润=（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较【解答】解：（1）由题意得，销售量=25010（x25）=10x+500，则w=（x20）（10x+500）=10x2+700x10000；（2）w=10x2+700x10000=10（x35）2+2250100，函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高理由如下：A方案中：20x30，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2000；B方案中：，故x的取值范围为：45x49，函数w=10（x35）2+2250，对称轴为直线x=35，当x=45时，w有最大值，此时wB=1250，wAwB，A方案利润更高【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得25（2015秋宁波期中）已知AB是O的直径，半径OCAB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且 BE=AD（1）试判断CDE的形状，并加以证明（2）若ABD=15，AO=4，求DE的长【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理【分析】（1）由条件可证明ADCBEC，则可得到CD=CE，结合AB为直径可证明DCE=90，可判断CDE为等腰直角三角形；（2）由条件可证明COD为等边三角形，则可求得CD=4，利用勾股定理可求得DE的长【解答】解：（1）CDE为等腰直角三角形，证明如下：如图1，连接AC、BC，则DAC=DBC，AB为直径，COAB，ABC为等腰直角三角形，AC=BC，在ADC和BEC中ADCBEC（SAS），CD=CE，DCA=BCE，ACB=90，ACE+BCE=90，DCA+ACE=90，即DCE=90，CDE为等腰直角三角形；（2）如图2，连接OD，则AOD=2ABD=215=30，AOC=90，DOC=60，且OD=OC=OA=4，OCD为等边三角形，CD=CE=OA=4，在RtCDE中，由勾股定理可得DE=4【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，在（2）中证明OCD为等边三角形是解题的关键26（2015秋宁波期中）如图，抛物线y=ax2x+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出点A的坐标，根据两点间的距离公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出ABC为直角三角形，由此即可得出ABC的外接圆的圆心位置，再根据点A、B的坐标即可求出圆心坐标；（3）将直线AB往下平移得到直线l，直线l与抛物线只有一个交点M时，此时点M到直线AB的距离最远，根据点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，设出直线l的解析式为y=x+m，将其代入抛物线解析式中令=0，即可求出m值，再联立直线l和抛物线解析式成方程组，解方程组即可求出点M的坐标；（4）假设存在，设点E的坐标为（n，n）以点A，点B，点P，点E为顶点的平行四边形分两种情况：以AB为边，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标；以AB为对角线，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标综上即可得出结论【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，2）代入y=ax2x+c（a0）中，得：，解得：，抛物线的解析式为y=x2x2（2）令y=x2x2中x=0，即x2x2=0，解得：x1=1，x2=4，A（1，0）B（4，0），C（0，2），AC=，BC=2，AB=5，AC2+BC2=5+20=25=AB2，ABC为直角三角形AB为ABC外接圆的直径，该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）（3）将直线AB往下平移得到直线l，直线l与抛物线只有一个交点M时，此时点M到直线AB的距离最远，如图1所示设直线AB的解析式为y=kx+b，直线l的解析式为y=kx+m，将点B（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，直线BC的解析式为y=x2将y=x+m代入y=x2x2中，得x2x2=x+m，即x22x2m=0直线l与抛物线只有一个交点，=（2）24（2m）=8+2m=0，解得：m=4，直线l的解析式为y=x4联立直线l与抛物线解析式得：，解得：，M（2，3）故：记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标为（2，3）（4）假设存在，设点E的坐标为（n，n）以点A，点B，点P，点E为顶点的平行四边形分两种情况（如图2）：以线段AB为边，点E在点P的左边时，A（1，0），B（4，0），E（n，n），P（5+n，n），点P（5+n，n）在抛物线y=x2x2上，n=（5+n）2，解得：n1=，n2=，此时点E的坐标为（，）或（，）；以线段AB为边，点E在点P的右边时，A（1，0），B（4，0），E（n，n），P（n5，n），点P（n5，n）在抛物线y=x2x2上，n=（n5）2，即n211n+36=0，此时=（11）2436=230，方程无解；以现段AB为对角线时，A（1，0），B（4，0），E（n，n），P（3n，n），点P（3n，n）在抛物线y=x2x2上，n=（3n）2，解得：n3=，n4=，此时点E的坐标为（，）或（，）综上可知：存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形，点E坐标为（，）、（，）、（，）或（，）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、直角三角形的判定、根的判别式以及等边三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）证出ABC为直角三角形；（3）找出点M的位置；（4）分AB为边和AB为对角线两种情况考虑本题属于中档题，（4）有点难度，解决该小问时，分AB为边和AB为对角线两种情况考虑，再根据等边三角形的性质结合三个顶点坐标找出另一顶点坐标是关键