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向量的数量积,第一课时,情境创设,问题1向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？,问题2物理中有没有其它的向量运算呢？,学生活动,问题3物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时，力对物体所做的功是多少？,问题4如图，当力F和位移S存在一个夹角时，力对物体所做的功是多少？,意义建构,问题5从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？,问题6在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？,向量a与b的夹角,练习1请同学们指出下列图中两个向量、（或）的夹角,向量a与b的夹角的取值范围,特别地，当向量a与b的夹角为0时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab,问题7零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0a0,数学理论,向量数量积的定义：,已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a|b|cos同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a0,练习2判断下列结论是否正确：（1）若a0，则对任意非零向量b，都有ab0；（2）若a0，则对任意非零向量b，都有ab0；（3）若b0，abbc，则ac；（4）若ab0，则向量a与b的夹角为钝角；（5）若a，b均为非零向量，且ab|a|b|，则ab,问题8向量的数量积有什么性质？,当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，当ba，有aa|a|2，或|a|（记aaa2）,问题9向量的数量积有什么样的运算性质？,已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：（1）abba（交换律）；（2）（a）b=（ab）=a（b）（对数乘运算的结合律）；（3）（ab）c=acbc（分配律）,数学运用,例1已知向量a与b的夹角为，|a|4，|b|3，分别在下列条件下求ab：(1)45；(2)90；(3)120,例2已知正ABC的边长为2，设BCa，ACb，ABc，求ab，bc,练习3,1已知|a|4，|b|3，分别在下列条件下求ab：(1)ab；(2)ab,2试利用向量数量积的运算律证明：(ab)2a22abb2,向量的数量积,第二课时,复习回顾,1平面向量的夹角,2平面向量的数量积,已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作a，b，则（0）叫做向量a与b的夹角,已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|,3向量的数量积的性质,4向量的数量积的运算律,已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)ab=ba(交换律)；(2)(a)b=(ab)=a(b)；(3)(ab)c=acbc向量的数量积运算不满足结合律,数学运用,例3求证：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2,例4已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b),例5已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量akb与akb互相垂直？,例6设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若ab=2i8j，ab=8i16j，求ab,例7设和是夹角为的两个单位向量，且，试求的值,向量的数量积,第三课时,问题情境,问题1若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标来表示它们的数量积ab？,数学理论,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab=x1x2+y1y2,数学运用,例9设a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求m的值,例10已知ab（2，8），ab（8，16），求ab及向量a与b的夹角的余弦值,课堂练习,1设(5，-7)，(-6，-4)，求ab，及a与b的夹角,2已知a(4,2)，b(6,1)，求：(1)ab；（2）(2ab)(a2b)；(3)|2a3b|,向量的数量积,第四课时,复习回顾,1平面向量数量积的坐标表示,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2.,2向量垂直的等价结论,设(x1，y1)，(x2，y2)，则,3向量模的坐标计算,设a(x，y)，则|a|2x2+y2，或|a|,数学运用,例11已知a（1，2），b（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，求实数y的取值范围,例12平面内有向量（1，7），（5，1），（2，1），点P是直线OC上一个动点（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点P满足（1）的条件和结论时，求cosAPB的值,例13AD，BE，CF是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点,例14求证：直径上的圆周角为直角,课堂练习,1已知|a|2，|b|1，向量a与b的夹角为，求向量ab与a2b的夹角的余弦值,2如图，在等腰ABC中，BD，CE分别是腰AC，AB上的中线，且BDCE，求BAC的余弦值,
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