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向量的数量积,第一课时,情境创设,问题1向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?这种运算的结果又是什么呢?,问题2物理中有没有其它的向量运算呢?,学生活动,问题3物理学中,物体所受力为F,在力的方向上产生的位移是S时,力对物体所做的功是多少?,问题4如图,当力F和位移S存在一个夹角时,力对物体所做的功是多少?,意义建构,问题5从求功的运算中,能否抽象出某种数学运算?,问题6在向量数量积的定义中,提到了“两个向量的夹角”这一概念,那么如何定义两个向量的夹角呢?,向量a与b的夹角,练习1请同学们指出下列图中两个向量、(或)的夹角,向量a与b的夹角的取值范围,特别地,当向量a与b的夹角为0时,这两个向量同向;当向量a与b的夹角为180时,这两个向量反向;当向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab,问题7零向量与其他向量有没有数量积?应如何定义?,规定:零向量与任意向量的数量积为0,即0a0,数学理论,向量数量积的定义:,已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos同时规定:零向量与任何向量的数量积为0,即0a0,练习2判断下列结论是否正确:(1)若a0,则对任意非零向量b,都有ab0;(2)若a0,则对任意非零向量b,都有ab0;(3)若b0,abbc,则ac;(4)若ab0,则向量a与b的夹角为钝角;(5)若a,b均为非零向量,且ab|a|b|,则ab,问题8向量的数量积有什么性质?,当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|特别地,当ba,有aa|a|2,或|a|(记aaa2),问题9向量的数量积有什么样的运算性质?,已知向量a、b、c和实数,则向量的数量积满足下列运算律:(1)abba(交换律);(2)(a)b=(ab)=a(b)(对数乘运算的结合律);(3)(ab)c=acbc(分配律),数学运用,例1已知向量a与b的夹角为,|a|4,|b|3,分别在下列条件下求ab:(1)45;(2)90;(3)120,例2已知正ABC的边长为2,设BCa,ACb,ABc,求ab,bc,练习3,1已知|a|4,|b|3,分别在下列条件下求ab:(1)ab;(2)ab,2试利用向量数量积的运算律证明:(ab)2a22abb2,向量的数量积,第二课时,复习回顾,1平面向量的夹角,2平面向量的数量积,已知两个非零向量a,b,在平面上任取一点作a,b,则(0)叫做向量a与b的夹角,已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|,3向量的数量积的性质,4向量的数量积的运算律,已知向量a、b、c和实数,则向量的数量积满足下列运算律:(1)ab=ba(交换律);(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(ab)c=acbc向量的数量积运算不满足结合律,数学运用,例3求证:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2,例4已知|a|6,|b|4,a与b的夹角为60,求(a2b)(a3b),例5已知|a|=3,|b|=4(且a与b不共线),当且仅当k为何值时,向量akb与akb互相垂直?,例6设x,y轴正方向上的单位向量分别为和,若ab=2i8j,ab=8i16j,求ab,例7设和是夹角为的两个单位向量,且,试求的值,向量的数量积,第三课时,问题情境,问题1若两个向量为a(x1,y1),b(x2,y2),如何用向量a,b的坐标来表示它们的数量积ab?,数学理论,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即ab=x1x2+y1y2,数学运用,例9设a(m1,3),b(1,m1),若(ab)(ab),求m的值,例10已知ab(2,8),ab(8,16),求ab及向量a与b的夹角的余弦值,课堂练习,1设(5,-7),(-6,-4),求ab,及a与b的夹角,2已知a(4,2),b(6,1),求:(1)ab;(2)(2ab)(a2b);(3)|2a3b|,向量的数量积,第四课时,复习回顾,1平面向量数量积的坐标表示,设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,2向量垂直的等价结论,设(x1,y1),(x2,y2),则,3向量模的坐标计算,设a(x,y),则|a|2x2+y2,或|a|,数学运用,例11已知a(1,2),b(1,y),若向量a,b的夹角为锐角,求实数y的取值范围,例12平面内有向量(1,7),(5,1),(2,1),点P是直线OC上一个动点(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点P满足(1)的条件和结论时,求cosAPB的值,例13AD,BE,CF是ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点,例14求证:直径上的圆周角为直角,课堂练习,1已知|a|2,|b|1,向量a与b的夹角为,求向量ab与a2b的夹角的余弦值,2如图,在等腰ABC中,BD,CE分别是腰AC,AB上的中线,且BDCE,求BAC的余弦值,
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