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柱体、锥体、台体、球体的体积和球体的表面积,思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？,从以上事实中你得到什么启发？,一、柱体、锥体、台体的体积,关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体.,归纳：,长方体体积：,正方体体积：,正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：,（S为底面面积，h为高）,（一）、柱体体积：,h,S,棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系,（二）、锥体体积：,三棱锥与同底等高的三棱柱的关系,探究,（其中S为底面面积，h为高）,由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的,经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的即棱锥的体积：,（三）、台体体积：,由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台(棱台)的体积公式,根据台体的特征，如何求台体的体积？,其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高,公式推导过程,棱台和圆台,棱台和圆台可以这样得到,棱台的体积公式同理可得.,柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h为台体高,S为底面面积，h为锥体高,（四）、柱、锥、台体的体积公式联系：,二、球体的体积和表面积,探究,问题一,如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？,问题二,一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？,球的截面的形状,圆面,球的概念,球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆,o,设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么r=,排液法测小球的体积,1、实验法：,（一）、球的体积：,探究,公式？,实验：排液法测小球的体积,小球的体积等于它排开液体的体积,曹冲称象,高等于底面半径的旋转体体积对比,2、类推法：,O,R,O,3、分割极限法：,（二）、球的表面积：,探究,公式？,分割法,第一步：分割,球面被分割成n个网格，表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,第二步：求近似和,由第一步得：,第三步：化为准确和,如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥,1,1,球的体积和表面积公式：,O,R,例1、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:,答：这堆螺帽大约有252个,三、例题讲解,例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。,例3、一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？（假设冰淇淋融化前后体积不变）,12cm,4cm,8.5cm,8cm,例4、一个圆柱形的玻璃杯的内半径为3cm，瓶里说装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的体积。,例5、一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,(变式)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体,侧棱长为5cm,例6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.,8,3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习一,四、课堂练习,4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,练习二,1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_.,6、若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为_.,7、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.,柱体、锥体、台体的体积,锥体,台体,柱体,五、课堂小结,球的体积和表面积：,习题1-7A组第8题B组第1、3题预习小结与复习,六、作业,谢谢,再见,
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