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5.2中心极限定律,中心极限定理的概念中心极限定理中心极限定理的应用小结练习,引例,考察射击命中点与靶心距离的偏差.,这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.,问题,某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.,5.2.1中心极限定理的概念,（依分布收敛）,5.2.2中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理,(Levy-Lindeberg),定理表明,证明,根据第4章第2节例题可知,2.德莫佛拉普拉斯定理,根据独立同分布中心极限定理得,定理表明,正态分布是二项分布的极限分布.当n充分大时,可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率.,5.2.3中心极限定理的应用,1.二项分布概率的近似计算,当n很大时,直接计算很困难.根据德莫佛-拉普拉斯中心极限定理,可用正态分布来近似计算.,例1,设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，试求夜晚同时开着的灯数在68007200盏之间的概率.,解,令X表示在夜晚同时开着的灯数，则,分布律为,所求概率为,直接计算很麻烦,利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理来近似计算.,注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较-精确得多,一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有2950030500次纵摇角大于3的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3的次数为X,则X是一个随机变量,例2,利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理来近似计算.,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设X为一年中投保老人的死亡数,则,由德莫佛拉普拉斯中心极限定理知,例3,保险公司亏本的概率,2.用频率作为概率的近似值的误差估计,由伯努利大数定律可知,根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，有,注：用这个关系式可解决许多计算问题.,重复掷一枚质地不均匀的硬币,设在每次试验中出现正面的概率p未知.试问要掷多少次才能使出现正面的频率与p相差不超过1/100的概率达95%以上？,例4,解,由题意,要求n,使,即,即,即,即,而,所以,要掷9604次以上才能使出现正面的频率与概率相差不超过1/100的概率达95%以上.,两个中心极限定理,独立同分布中心极限定理,德莫佛拉普拉斯中心极限定理,中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.,小结,EX1,EX2,一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.,解设X是损坏的部件数，则Xb(100,0.1).则整个系统能正常工作当且仅当X15.,由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有,EX3,某螺丝钉厂废品率为0.01，问一盒中应装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于100个的概率不少于0.95？,
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