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第二章,随机变量及其分布,第三讲,常见的连续性随机变量的分布,导读内容,1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它们的概率密度函数是怎样的？2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些重要应用？如何解决实际问题？请查找资料举例说明。,(1)均匀分布,若X的概率密度函数为,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从,参数为a,b的均匀分布，记作,*显然，且,*对于中任一子区间，有,即X落在中任一子区间中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即在区间上“等可能取值”,例1:设连续型随机变量X在a,b上服从均匀分布，求其分布函数.,解因为,所以当时,当时,当时,即,例2宁波的路公共汽车每隔15分钟一趟，若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间超过8分钟的概率是多少？解设X为候车时间，则X在0,15上服从均匀分布，其概率密度函数为0x15其他,(2)指数分布,若的概率密度函数为,则称服从参数为的指数分布，记作,0为常数,*显然，且,容易求得，指数分布的分布函数为,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,例3假设某元件的寿命服从参数=0.0015的指数分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率.解设X为该元件的寿命，则,解（1）,（2）,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,(3)正态分布,若随机变量的概率密度函数为,则称服从参数为,2的正态分布,记作N(,2),为常数，,正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时得到的，故正态分布也称为高斯分布.,f(x)的性质：,1.图形关于直线x=对称,即,且在x=时,f(x)取得最大值,2.在x=时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点,3.曲线y=f(x)以x轴为渐近线,4.曲线y=f(x)的图形呈单峰状,f(+x)=f(-x),正态分布图象,位置参数,即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同。,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同.,若12则,附近值的概率更大。,前者取,服从正态分布的指标有什么特点,一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.,为什么叫“正态”分布,正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态(normal)”的分布.,问题,？,问题,？,正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关.,O,这是什么曲线?,高尔顿钉板试验,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差；炮弹弹着点；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；,一个地区的家庭年收入；一个班的某门课程的考试成绩；,成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等,气象中的月平均气温、湿度、降水量等,分布函数,其值有专门的表供查.,（4）标准正态分布N(0,1),密度函数,因此，当XN(0,1)，有,注：将的数值列成表格，则计算服从标准正态分布的随机变量X落在某个区间内的概率只需直接查表，而无需每次去计算定积分,其查表的方法如下：,（1）,（）,（）,例设XN(0,1)，利用的数值表计算：,解,故服从正态分布的随机变量X的概率可以通过查正态分布表求得.,一般正态分布概率的计算,解,补充1：3原理,设XN(,2),求,解,注：一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小。,补充2：标准正态分布的上分位数z,设XN(0,1),01,称满足,的点z为X的上分位数,z,常用数据,解,所以,查表得,从而,解所求的d应满足,由于(x)为单增函数，查表知即,例4:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d,液体的温度X(以计)是随机变量,且XN(d,0.52).若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?,
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