资源描述
第四节向量空间,一向量空间,二向量空间的基与维数,三基变换与坐标变换,1、定义,一、向量空间,设为维非空向量组，且满足对线性运算封闭,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合为向量空间.,例如，=0和=Rn均为向量空间,2、定义,设U、为两向量空间，若,，则称U是,的子空间。,例如，设是一向量空间，,是的子空间,二、向量空间的基与维数,定义,均可由线性表示.,若满足：,设是一个向量空间，它的某r个向量,记作：r=dim，,线性无关；,则称为的一个基.r称为的维数.,是一个r维向量空间,规定零空间的维数为0,注：向量空间的基是其作为向量集合的极大线性无关组,向量空间的维数等于其基向量组的秩,向量空间的基不唯一,的坐标向量，简称坐标,定理：,若向量空间V的维数为r,则V中任r个线性无关的,向量都是V的一组基,向量空间的坐标,设为向量空间的一组基，则任给,设,例1,证明：为向量空间R3的一组基,求在基下的坐标,提示1：令则|A|0，故线性无关,提示2：,注：在基本向量组为,一个向量在一组基下的坐标是唯一确定的,一个向量在不同基下的坐标是不同的,问题:,三、基变换与坐标变换,1、设为维非空向量组，对于中两组不同基之间有,什么关系？,2、中的一个向量在两组不同基下有什么关系？,过渡矩阵建立了不同基之间的关系，具有如下性质：,两组不同的基，若有矩阵Crr，使得,的过渡矩阵（基变换矩阵）,的过渡矩阵,则,X和Y，即,注意：坐标变换公式与基变换公式表述形式的区别,的过度矩阵,解：,由题可得两向量组之间有如下关系,线性无关，即为4的一组基,因过渡矩阵C可逆，故,
展开阅读全文