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第七章参数估计,在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数。,例如：,估计大学生的平均身高,参数估计问题的一般提法,（X1,X2,Xn）,参数估计,参数估计,点估计,区间估计,例1已知某地区大学生的身高X,随机抽查100个大学生得100个身高数据。,1点估计,把样本值代入T(X1,X2,Xn)中，得到的一个点估计值。,请注意，被估计的参数是一个未知常数，而估计量T(X1,X2,Xn)是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数值,这个数常称为的估计值。,问题是:使用什么样的统计量去估计？,寻求估计量的方法：,1.矩估计法,2.极大似然法,3.最小二乘法,4.贝叶斯方法,1.矩估计法,矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.,其基本思想是用样本矩估计总体矩。,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法。,理论依据:,大数定律,一般地,设总体Xf(x;),其中,求参数的矩估计的一般步骤为:,1.令,2.解:,其中,3.得,最常用的是：,!p151,解:,从中解得,得：,由矩法,解:,EX:例1,矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布。,缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性。,例如:总体X,A1,B2都是的矩估计。,2.极大似然法,在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法。,它首先是由德国数学家Gauss在1821年提出的,Fisher在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质。,极大似然法的基本思想：,即，已发生的事件具有最大概率。,极大似然原理,先看一个简单例子：,在军训时，某位同学与一位教官同时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。,如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?,若X为离散型总体：,已发生的事件为：,其概率为：,我们的任务是：,若X为连续型总体：,已发生的事件为：,其概率为：,我们的任务是：,称为似然函数,称满足的为的极大似然估计值。,称为的极大似然估计量（MLE）.,例4设总体Xb(1,p),X1,Xn是一个样本，求参数p的极大似然估计.,解：,!,在总体分布中，把概率函数(或密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量导出似然函数L();,求极大似然估计（MLE）的一般步骤：,求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;,在最大值点的表达式中,用样本代入就得参数的极大似然估计量,两点说明,1、求似然函数L()的最大值点，通过求解似然方程：,得到的MLE。,若是向量，上述方程必须用似然方程组代替。,2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原理来求。,解：,例6设总体其中参数未知，使用极大似然估计法求的估计量。,解：,i=1,2,n,i=1,2,n,(1),(2),由(1)得,?!,故使达到最大的即的MLE，,极大似然估计的一个性质:,设的函数g=g()是上的实值函数,且有唯一反函数。如果是的极大似然估计，则g()也是g()的极大似然估计。,例8一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中有k个白球，求罐中黑球与白球之比R的极大似然估计.,解:,显然Xb(1,p)，由例4,
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