x10-3向量函数的微分.ppt

第10章向量的数量积和向量积向量函数微分法,知识逻辑关系图,导数的几何意义和物理意义,向量函数连续定义,重点：向量函数导数及其几何意义难点：空间曲线弧微分,设a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz),且为常数,(1)ab=(axbx,ayby,azbz),(2)a=(ax,ay,az)(3)(4),复习：,10-3,向量函数的微分和积分,一、向量函数1.向量函数定义,连续的向量函数和空间曲线有着密切的联系,2.向量函数的几何意义向量函数起点定在O点，当t变化时终点描绘出图形是一条空间曲线.,直线：r（t）=(x0+at，y0+bt,z0+ct)摆线：r（t）=(a(t-sint),a(1-cost),0),螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线,3.向量函数极限定义,则称向量r(t)的极限为r0或称向量r(t)按模收敛r0,定理,若则称向量函数在t=t0连续,例已知螺旋线计算,连续,二、向量函数导数与微分1.定义：向量函数在t0处的导数,向量函数,2.向量值函数的导数与微分运算法则,（1,（2,（3,（4）,（5）,证（5）,3.注意（1）r(t)的几何意义,（2）向量函数导数物理意义：,设r(t)为沿空间曲线运动质点位置t作为质点开始运动起时间：,例1求螺旋线,在点（0，2,/2)处的切线方程,向上飞行，求（1）滑翔机速度和加速度,（2）滑翔机t时刻的速率（3）如果有的话，求滑翔机的速度正交于加速度的时刻,例3证明定长度的向量函数的导向量与r(t)垂直证明：,如当我们跟踪以原点为中心的球面上运动的质点时，位置向量有一个等于球面半径的固定长度，（如图）运动路径的速度向量与运动路径相切,例一质点以常角速度w0在半径为R的圆上运动，求其速度与加速度？解：r()=(Rcos,Rsin，0),=-(Rcos,Rsin，0）W02,=（-Rsin,Rcos，0）W0,yr()0 xz,起点定在O点，当t变化时终点描绘出图形是一条空间曲线弧。,三、弧微分,向量函数,弧微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长,或,平面曲线弧,我们已经得到了弧微分公式,空间曲线,弧微分,例：求螺旋线：r（t）=(cost,sint，t)0t2弧的长度,注1：,例证明：,简证：,M,注2设某质点在空间中运动轨道为r(t):t其中t被看作为质点开始运动起的时间值则：,向上滑行，,求滑翔机的路径的曲线的单位切向量,例（P410）单位向量关于时间参数t的导数模等于向量转动速度（角速度）的大小,