线性代数-向量及其线性运算.ppt

Econ swun Password 111111 2 2 维向量 一 维向量 三应用举例 二向量的运算 五向量空间 四向量组与矩阵 注意 集中精力 仔细理解 确定飞机的状态 需要以下6个参数 飞机重心在空间的位置参数P x y z 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以 确定飞机的状态 会产生一个有序数组 引入 一 维向量 Vector 定义 个数组成的有序数组 称为一个 维向量 其中称为第个分量 记作 如 维向量写成一行 称为行矩阵 也就是行向量 如 记作 维向量写成一列 称为列矩阵 也就是列向量 RowVector ColumnVector 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 当没有明确说明时 都当作实的列向量 几何上的向量可以认为是它的特殊情形 即 n 2 3且F为实数域的情形 在n 3时 n维向 量就没有直观的几何意义了 我们所以仍称它为向 量 一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算 并且有许多运算性质是共同的 因而采取 这样一个几何的名词有好处 以后我们用小写希腊字母 等来代表向 量 情形 三 n维向量的运算 1 两个向量相等 定义2 3如果n维向量 a1 a2 an T b1 b2 bn T 的对应分量都相等 即 ai bi i 1 2 n 就称这两个向量是相等的 记作 2 向量的加法 1 定义 定义2 4向量 a1 b1 a2 b2 an bn T 称为向量 a1 a2 an T b1 b2 bn T 的和 记为 2 运算规律 交换律 结合律 4 负向量 定义向量 a1 a2 an T称为向量 a1 a2 an 的负向量 记为 显然 对于所有的 都有 0 0 5 向量减法运算 定义 3 数量乘积 定义2 5设k为数域F中的数 向量 ka1 ka2 kan 称为向量 a1 a2 an 与数k的数量乘积 记为k 1 定义 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运 算 显然 数域F上的向量经过线性运算后 仍 为数域F上的向量 2 运算规律 k k k k l k l k l kl 1 0 0 1 k0 0 如果k 0 0 那么 k 0 3 向量与矩阵的关系 其第 个列向量记作 个 维行向量 按行分块 按列分块 个 维列向量 其第 个行向量记作 矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数 什么是向量的维数 二者必须分清 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 三 向量组 矩阵 线性方程组 向量组称为矩阵 的列向量组 对于一个矩阵有 个 维列向量 记作 向量组为矩阵 的行向量组 类似的 矩阵有 个 维行向量 四 线性方程组AX b的向量表示 方程组的解x1 c1 x2 c2 xn cn 可以用n维列向量 x c1 c2 cn T来表示 此时称为方程组的一个解向量 P78 例 维向量的集合是一个向量空间 记作 五 向量空间 1 定义 设 为 维非空向量组 且满足 对加法封闭 对数乘封闭 那么就称向量组 为向量空间 VectorSpace 解 任意两个 维向量的和仍是一个 维向量 任意 维向量乘以一个数仍是一个 维向量 所以 所有 维向量的集合构成一个向量空间 易知该集合对加法封闭 对数乘也封闭 向量 几何形象 可随意平行移动的有向线段 代数形象 向量的坐标表示式 2 结构 空间 2 3向量间的线性关系 回忆 向量线性运算 数乘 规定 称为数 与向量 的数量积 设 k 那么两个向量之间是什么样的关系 引申到多个向量 关系又如何 向量能由向量组线性表示 一定义 若 k 则称向量 与 成比例 零向量 是任一向量组的线性组合 任一 维向量 都是基本向量组 的一个线性组合 事实上 有 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示 b能够为 1 2 n线性表示 令x1 x2 xn分别为 1 2 n 则以上线性组合可以表示为 定理1 注意 定义 二 线性相关性的概念 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 相关结论P92例3 4 定理向量组线性无关 齐次线性方程组只有零解 定理向量组线性相关 齐次线性方程组有非零解 二 线性相关性的判断准则P91 推论 个 维向量线性相关 推论 个 维向量线性无关 P91定理 解 例 1 设向量组 线性相关 则 2 设向量组 自己练习 证法 进一步 P94定理2 6 向量组线性相关 至少有一个向量可由其余向量线性表示 定理 向量组线性无关 任何一个向量都不能由其向量线性表示 定理 P96例题9 如果向量组 线性相关 则 可由 唯一线性表示 线性无关 而向量组 证 设 线性无关 而向量组 线性相关 否则与 线性无关矛盾 可由 线性表示 即有 下证唯一性 两式相减有 线性无关 即表达式唯一 设 性质 设向量组 若 线性相关 则向量组 也线性相关 反之 若 向量组 线性无关 则向量组 也线性无关 P95例7 此时A称为B的一个部分组 说明 P95例8 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 线性组合与线性表示的概念 线性相关与线性无关的概念 线性相关性在线性方程组中的应用 重点 线性相关与线性无关的判定方法 定义 定理 难点 六 小结 作业 P971 1 3 23 2 3 5 2 6 1