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圆锥曲线一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意:表示椭圆;表示线段;没有轨迹;(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴,轴;短轴为,长轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大,椭圆越扁)通 径(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)3常用结论:(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长= (2)设椭圆左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是 二、双曲线:(1)双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意:与()表示双曲线的一支。表示两条射线;没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴,轴;虚轴为,实轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大,开口越大)渐近线通 径(3)双曲线的渐近线:求双曲线的渐近线,可令其右边的1为0,即得,因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是;(4)等轴双曲线为,其离心率为(4)常用结论:(1)双曲线的两个焦点为,过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长= (2)设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点,则的坐标分别是 三、抛物线:(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在轴上,开口向右焦点在轴上,开口向左焦点在轴上,开口向上焦点在轴上,开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式: 其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,由韦达定理求出,;(3)代入弦长公式计算。法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是:注意(1)上面用到了关系式和注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,由韦达定理求出;(3)设中点,由中点坐标公式得;再把代入直线方程求出。法(二):用点差法,设,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0e1,而双曲线离心率取值范围是e1)例1:设点P是圆上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程解 设点M的坐标为,点P的坐标为,由,得,即,因为点P在圆上,所以即,即,这就是动点M的轨迹方程例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点,求椭圆的标准方程解法1 因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义可知:又所以所求的标准方程为 解法2 ,所以可设所求的方程为,将点代人解得: 所以所求的标准方程为 例3.例4. 高二圆锥曲线练习题11、F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知的周长是16,B, 则动点的轨迹方程是( )(A) (B) (C) (D)3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A B C D4、设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为( )A B C D5、设双曲线的渐近线方程为,则的值为( ).(A)4 (B)3 (C)2 (D)16、双曲线的实轴长是( )(A)2 (B) 2 (C) 4 (D)47、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为( )A B2 C D18、以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )A BC D9、过椭圆=1(ab0)的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( )A B C D10. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的 ( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; .(2)焦点坐标为,并且经过点(2,1); .(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,且短轴是长轴的; (4)离心率为,经过点(2,0); 12、与椭圆轴长为2的椭圆方程是: 13、在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为: 14、已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则 15、 已知、是椭圆C:()的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若的面积是9,则 16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P( 4, ),Q ( )两点的椭圆方程。圆锥曲线练习题21抛物线的焦点到准线的距离是( )A B C D2若抛物线上一点到其焦点的距离为,则点的坐标为( )。A B C D3以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程( )A B C或 D以上都不对4以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是( )A或 B C或 D或5若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为( )A B C D6椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则的面积为( )A B C D7若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为( )A B C D8与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是( )A B C D9若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_.10双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为_。11抛物线的准线方程为.12椭圆的一个焦点是,那么 。13椭圆的离心率为,则的值为_。14双曲线的一个焦点为,则的值为_。15若直线与抛物线交于、两点,则线段的中点坐标是_。16为何值时,直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 17在抛物线上求一点,使这点到直线的距离最短。 18双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求其方程。 19设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,求的面积。高二圆锥曲线练习题1、F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是( D )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知的周长是16,B, 则动点的轨迹方程是( B )(A) (B) (C) (D)3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( D )A B C D4、设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为( A )A B C D5、设双曲线的渐近线方程为,则的值为( C ).(A)4 (B)3 (C)2 (D)16、双曲线的实轴长是(C )(A)2 (B) 2 (C) 4 (D)47、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为( A )A B2 C D18、以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( A )A BC D9、过椭圆=1(ab0)的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( B )A B C D10. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的 ( C )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上必须满足所以,11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; )或; .(2)焦点坐标为,并且经过点(2,1); .(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,且短轴是长轴的; 或; (4)离心率为,经过点(2,0); 或.12、与椭圆轴长为2的椭圆方程是: 13、在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为:()14、已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则 8 15、 已知、是椭圆C:()的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若的面积是9,则 3 16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P( 4, ),Q ( )两点的椭圆方程。解:设椭圆方程为,将P,Q两点坐标代入,解得故为所求。圆锥曲线练习题21抛物线的焦点到准线的距离是( B )A B C D2若抛物线上一点到其焦点的距离为,则点的坐标为( C )。A B C D3以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程( C )A B C或 D以上都不对4 是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则的面积为( C )A B C D5以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是( D )A或 B C或 D或6若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为( B )A B C D7椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则的面积为( D )A B C D 8若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为( D )A B C D9与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是( A )A B C D10若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_ _.11双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为_。12抛物线的准线方程为.13椭圆的一个焦点是,那么 1 。14椭圆的离心率为,则的值为_。15双曲线的一个焦点为,则的值为_。16若直线与抛物线交于、两点,则线段的中点坐标是_。17为何值时,直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?解:由,得,即 当,即时,直线和曲线有两个公共点; 当,即时,直线和曲线有一个公共点; 当,即时,直线和曲线没有公共点。18在抛物线上求一点,使这点到直线的距离最短。解:设点,距离为, 当时,取得最小值,此时为所求的点。19双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求其方程。解:椭圆的焦点为,设双曲线方程为过点,则,得,而,双曲线方程为。20设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,求的面积。2解:双曲线的不妨设,则,而得14
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