三年级语文下册 第3单元 12《田忌赛马》课件3 沪教版.ppt

数学模型与数学建模 田忌赛马 的故事 一 展示材料 战国时代 齐王与大将田忌赛马 规则如下 双方各出三匹马 一对一共比赛三场 每场的输者要给赢者铜一千斤 齐王的三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上 中 下三等 齐王的上 中 下三匹马分别比田忌的上 中 下三匹马略强一些 每次比赛用同等级的马对抗3局 田忌就要输3局 输掉三千斤铜 后来 田忌手下的谋士 著名的军事家孙膑给田忌出了一个主意 让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛 他的上等马与齐威王的中等马比赛 用中等马与齐威王的下等马比赛 这样虽然第一场田忌必输无疑 但是却可以赢后面两场 从而二胜一负 田忌赢了齐威王铜一千斤 二 材料初步分析 齐威王将自己置于十分不公平的位置上 自恃强大 每次都先出马 才给了田忌可趁之机 公平的竞赛规则应该是这样的 每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序 且每场比赛出马的决策应该是同时做出的 倘若这样比赛的话结果会是如何呢 我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题 三 问题探究 问题一 若只进行一场比赛 也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随机选择一匹进行比赛 那么齐威王获胜的机会怎样 当然 倘若齐威王一直只出上等马 那么田忌永远都没有机会 所以这里 随机 很重要 为了研究方便 我们必须先给出几个设定 设定1 齐王和田忌选择哪一匹马是随机的 事先谁也不知道到底会出哪匹马 设定2 上 中 下三种马分别用字母a b c表示 设定3 齐王每场赢得1分 输得0分 根据两人出马的各种情形我们可以列出下表 表中数据是齐威王的得分 上述3 3 9种情况是等可能的 每种情况出现的概率都是1 9 故齐威王获胜的概率为6 9 2 3 列出齐王的得分 的分布列 齐威王得分的数学期望 倘若这样的比赛进行300场 齐威王大概可以获得200分 问题二 倘若进行三场上述的比赛 每场比赛也都是随机选择马匹 但是采用三局两胜制 则这时齐威王获胜的概率有多大 由于三场比赛之间相互独立 每场比赛依上一研究结果可知齐威王的获胜概率为2 3 故三场比赛下来齐威王获胜的场数 服从二项分布 所以齐威王获胜的概率为 问题三 还是进行三场比赛 还是三局两胜 但是要求这三场比赛要分别出不同的马 也就是上 中 下三匹马都要而且只能出场一场 这样的话 齐威王获胜的概率有多大 若这样的比赛进行多次 齐威王平均每次能胜多少场 在这个问题中 齐威王共有 种选择 即只能选择出马顺序 有 六种选择 田忌相应的也有6种选择 总共36种选择 并且这36种情形的出现是等可能的 每种情形出现的概率都是1 36 用表格列出如下 表中数据依然表示齐威王的得分 由上表可知 齐威王在这三场比赛中得三分即三场全胜的概率为 得2分的概率为 得一分的概率为 得0分的概率为0 所以齐威王在这三场比赛中的得分的分布列为 依上表 得到齐威王获胜的概率为 问题四 若齐威王只出一种顺序 而田忌对此一无所知 依然是6种顺序均等可能 那么齐威王获胜情况会不会产生变化 不妨认为就是 从上面的表格中第一列的数据来看 齐威王得三分的概率依然是 得两分的概率依然是 得一分的概率依然是 三场下来的得分的数学期望还是 而且不论从哪一列来看都是如此 即 倘若齐威王只出一种顺序 但是田忌却对此一无所知 那么齐威王获胜的概率和得分的数学期望都与齐威王随机选择时是一样的 问题在于 田忌恐怕没这么笨 齐威王也不会冒险做出这样的决定 于是便有了下面的问题五 问题五 若齐威王偏好出其中一种顺序 比如说 假设齐威王出 的概率为0 5 出其他顺序的概率都是0 1 并且这种偏好被田忌识破 那么情况会发生变化吗 倘若你是田忌 你该作出怎样的对策 从计算齐威王的获胜概率来看 若田忌选择顺序 则齐威王的获胜概率为0 5 0 4 0 9 反倒比以前的 大 当然田忌不会这么笨 其余四种情况也是如此 只有选择 才能将齐威王的获胜概率降为0 5 因此从齐威王的获胜概率来看 为了有效降低齐威王的获胜概率 田忌应该选择顺序 从计算齐威王每次得分的数学期望来看 当田忌选择顺序 齐威王每次的平均得分为 当田忌选择顺序其它四种时 这样还是不能有效降低齐威王的平均得分 更好的是选择顺序 因为这时齐威王每次的平均得分降为 因此 不论从有效降低齐威王的获胜概率还是从有效降低齐威王的平均得分来看 田忌的最佳选择是 正好与军事家孙膑的选择如出一辙 数学模型 MathematicalModel 和数学建模 MathematicalModeling 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 你碰到过的数学模型 航行问题 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小时20千米 小时 甲乙两地相距750千米 船从甲到乙顺水航行需30小时 从乙到甲逆水航行需50小时 问船速 水速各若干 x 20y 5 实际问题 目的 为预测到达时间提供依据 假设 建模 求解 应用 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20千米 小时 1 3数学建模示例 问题 1 3 1椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚连线呈正方形 地面高度连续变化 可视为数学上的连续曲面 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 椅脚连线 的对称性 用 对角线与x轴的夹角 表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 四只脚 A C两脚与地面距离之和 f B D两脚与地面距离之和 g 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD绕O点旋转 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数 对任意 f g 至少一个为0 数学问题 已知 f g 是连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单 粗糙的证明方法 将椅子旋转900 对角线AC和BD互换 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 则h 0 0和h 2 0 由f g的连续性知h为连续函数 据连续函数的基本性质 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f g 0 所以f 0 g 0 0 评注和思考 建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和f g 的确定 1 巧分蛋糕 试回答能否将一个不规则的蛋糕平均分成两部分 思考练习题 2 上山问题 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山 下午5时到达山顶并留宿 次日早8时沿同一条路径下山 下午5时回到旅店 某乙说 甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点 为什么