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课时授课计划课次序号： 01 一、课题：1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料：1.高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学教与学参考，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题11 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：第一章 函数与极限第一节 映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集组成集合的事物称为该集合的元素例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等通常我们用大写的英文字母A，B，C，表示集合；用小写的英文字母a，b，c，表示集合的元素若a是集合A的元素，则称a属于A，记作aA；否则称a不属于A，记作aA（或aA）含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程+1=0的实根组成的集合是空集集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内例如，所有正整数组成的集合可以表示为N=1，2，n，另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作A =xx具有性质p（x）例如，正整数集N也可表示成N=nn =1，2，3，；又如 A=（x，y）+ =1，x，y为实数表示xOy平面单位圆周上点的集合2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A B（或B A）；若A B，且有元素ab，但a A，则说A是B的真子集，记作A B对任何集A，规定A若A B，且BA，则称集A与B相等，记作A=B由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作AB，即AB=xxA或xB由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作AB，即AB=xxA且xB由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作AB，即AB=xxA但x B如图1-1所示阴影部分图1-1在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集X中的任何集A关于X的差集XA称为A的补集（或余集），记作 集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律AB=BA，AB=BA；（2）结合律（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；（3）分配律（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）；（4）幂等律AA=A，AA=A；（5）吸收律A=A，A=设Ai（i=1，2，）为一列集合，则下列法则成立：（1）若AiC（i=1，2，），则C；（2）若AiC（i=1，2，），则C设X为基本集，Ai（i=1，2，）为一列集合，则= ， = 3. 区间与邻域（1） 区间设a和b都是实数，将满足不等式axb的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）即（a，b）=xaxb，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a （a，b）且b （a，b）类似地，称数集a，b=xaxb为闭区间，a和b也称为闭区间a，b的端点，这里aa，b且ba，b称数集a，b）=xaxb和（a，b=xaxb为半开半闭区间以上这些区间都称为有限区间 数ba称为区间的长度 此外还有无限区间：（-，+）=x-x+=R，（-，b=x-xb，（-，b）=x-xb，a，+）=xax+，（a，+）=xax+，等等这里记号“-”与“+”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”（2） 邻域设x0是一个给定的实数，是某一正数，称数集 xx0-xx0+为点x0的邻域，记作U（x0，）称点x0为这邻域的中心，为这邻域的半径（如图1-2）图1-2称U（x0，）-x0为x0的去心邻域，记作(x0,)=x0x-x0,记( x0-,)=xx0-xx0, (x0+,)=xx0xx0+,它们分别称为x0的去心左邻域和去心右邻域当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），(x0)分别表示x0的某邻域和x0的某去心邻域。二、映射1映射的定义 定义1 设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：AB， 称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像 集合A称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作Rf 或f（A），即Rf = f (A)=yy=f(x),xA定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现例1 设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射fAB例2 设A=1，2，n，B=2，4，2n，令 f(x)=2x，xA， 则f是一个从A到B的映射例3 设A=0，1，B=（x，y）y=x，xA，如图1-3所示令fx（x，x），xA，则f是一个从A到B的映射 图1-3设有映射fAB，若B = f（A）=f（x）xA，则称f是满射若f将A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2A且x1x2，则f（x1） f(x2),则称f是单射若f既是满射又是单射，则称f是从A到B的一一映射若A与B之间存在一一映射，则称A与B是一一对应的上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的 2. 复合映射定义2 设有映射gAB，fBC，于是对xA有xu = g（x）y = f（u）= fg（x）C这样，对每个xA，经过uB，有惟一的yC与之对应，因此，又产生了一个从A到C的新映射，记作AC，即（）（x）=fg（x），xA，称为f与g的复合映射,如图1-4所示图1-43. 逆映射定义3 设有映射fAB，B=f（A），若存在一个映射gBA，对每个yB，通过g，有惟一的xA与之对应，且满足关系f（x）=y，则称g是f的逆映射，记作g=f -1 若映射f：AB是一一映射，则f必存在一个从B到A的逆映射f -1三、函数1. 函数的概念定义4 设A，B是两个实数集，将从A到B的映射f：AB称为函数，记作y = f（x），其中x称为自变量，y称为因变量，f（x）表示函数f在x处的函数值，A称为函数f的定义域，记作；f（A）=yy=f（x），xAB称为函数f的值域，记作通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y =f（x），xA”表示函数，此时应理解为“由对应关系y=f（x）所确定的函数f ”从几何上看，在平面直角坐标系中，点集（x，y）y=f（x），x称为函数y=f（x）的图像（如图1-5所示）函数y=f（x）的图像通常是一条曲线，y=f（x）也称为这条曲线的方程这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨图1-5例 求函数y=+的定义域解 要使数学式子有意义，x必须满足 即 由此有1x2， 因此函数的定义域为（1，2有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数下面给出一些今后常用的分段函数例 绝对值函数 y=x= 的定义域=（-，+），值域=0，+，如图1-6所示例 符号函数 y=sgnx=的定义域=（-，+），值域=-1，0，1，如图17所示 图1-6 图1-7例 取整函数y=x，其中x表示不超过x的最大整数例如，-=-1，0=0，=1，=3等等函数y=x的定义域=（-，+），值域=整数一般地，y =x= n，nxn+1，n=0，1,2,如图1-8所示 图1-82. 复合函数与反函数(1)复合函数定义5 设函数的定义域为，值域为；而函数的定义域为，值域为，则对任意，通过有惟一的与对应，再通过又有惟一的与对应这样，对任意，通过，有惟一的与之对应因此是的函数，称这个函数为与的复合函数，记作，称为中间变量两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如，y=x=（a0且a1）可看成由指数函数y = au与u=logax复合而成 例 设f（x）=（x-1）,求f（f（f（x）解 令，则y=f（f（f（x）是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为=，x-；=,x-，所以 f（f（f（x）=，x-1,- ,-（2）反函数定义6 设A，B为实数集，映射f：AB的逆映射f -1称为y=f（x）的反函数即：若对每个yB，有惟一的xA，使y=f（x），则称x也是y的函数，记作f -1，即x=f -1（y），并称它为函数y=f（x）的反函数，而y=f（x）也称为反函数x=f -1（y）的直接函数从几何上看，函数y=f（x）与其反函数x=f -1（y）有同一图像但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数x=f -1（y）常改写成y=f -1（x）今后，我们称y=f -1（x）为y=f（x）的反函数此时，由于对应关系f -1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y=f -1（x）与直接函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称，如图 1 - 9所示 图1 - 9值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y=x2的定义域为（-，+），值域为0，+），但对每一个y（0，+），有两个x值即x1=和x2=-与之对应，因此x不是y的函数，从而y=x2不存在反函数事实上，由逆映射存在定理知，若f是从到的一一映射，则f才存在反函数f -1例 设函数（x-1）,求解 函数可看成由y=f（u），u=x+1复合而成所求的反函数可看成由y=f -1（u），u=x+1复合而成因为f（u）=，u0,即 y=，从而，u（y-1）=-1，u=，所以 y=f -1（u）=，因此 =-，x03. 函数的几种特性(1) 函数的有界性定义7 设函数的定义域为，数集，若存在某个常数（或），使得对任一，都有（或），则称函数在上有上界（或有下界），常数（或）称为在上的一个上界（或下界），否则，称在上无上界（或无下界）若函数在既有上界又有下界，则称在上有界，否则，称在上无界易知，函数在上有界的充要条件是：存在常数M0，使得对任一，都有 例如，函数在其定义域（-，+）内是有界的，因为对任一x（-，+）都有，函数在（0，1）内无上界，但有下界从几何上看，有界函数的图像界于直线之间(2) 函数的单调性定义8 设函数的定义域为，数集，若对中的任意两数x1，x2（x1x2），恒有 （或），则称函数在上是单调增加（或单调减少）的若上述不等式中的不等号为严格不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数，如图110所示 图110例如，函数在其定义域（-，+）内是严格单调增加的；函数在（0，）内是严格单调减少的从几何上看，若是严格单调函数，则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多交于一点，因此有反函数(3) 函数的奇偶性定义9 设函数的定义域关于原点对称（即若，则必有）若对任意的，都有（或），则称f（x）是上的奇函数（或偶函数）奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y轴，如图111所示 图111例10 讨论函数f（x）=ln（x+）的奇偶性解 函数f（x）的定义域（-，+）是对称区间，因为f（-x）=ln（-x+）=ln（）=-ln（x+）=-f（x）所以，f（x）是（-，+）上的奇函数(4) 函数的周期性定义10 设函数的定义域为，若存在一个不为零的常数T，使得对任意，有（），且，则称为周期函数，其中使上式成立的常数T称为的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T（如果存在的话）例如，函数的周期为2；的周期是并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数，任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期4. 函数应用举例例11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算如从上海到某地每千克以015元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克025元收费试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像解 当0x50时，y=015x;当x50时，y=01550+025(x-50)所以函数关系式为 y=这是一个分段函数，其图像如图112所示 图112例12 一打工者，每天上午到培训基地A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店C服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃A，B，C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的A与B之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短解 如图1-13所示，设所找宿舍D距基地A为x（km），用f（x）表示每天往返的路程函数 图1-13当D位于A与C之间，即0x3时，易知f（x）=x+8+（8-x）+2（3-x）=22-2x，当D位于C与B之间,即3x8时，则f(x)=x+8+(8-x)+2(x-3)=10+2x所以f(x)= 这是一个分段函数，如图1-14所示,在0,3上,f(x)是单调减少,在3,8上,f(x)是单调增加从图像可知,在x=3处,函数值最小这说明,打工者在酒店C处找宿舍,每天走的路程最短 图1-14 图1-155. 基本初等函数(1) 幂函数函数 y=x（是常数）称为幂函数幂函数y=x的定义域随的不同而异，但无论为何值，函数在（0，+）内总是有定义的当0时，y=x在0，+）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图1-16列出了=12，=1，=2时幂函数在第一象限的图像 图1-16 图1-17当0时，y=x在（0，+）上是单调减少的，其图像通过点（1，1），图1-17列出了=- ，= -1，= -2时幂函数在第一象限的图像(2) 指数函数函数 y=ax（a是常数且a0，a1）称为指数函数 图1-18指数函数y=ax的定义域是（-，+），图像通过点(0,1),且总在x轴上方当a1时,y=ax是单调增加的;当0a1时,y=ax是单调减少的,如图1-18所示以常数e=271828182为底的指数函数 y=ex 是科技中常用的指数函数(3) 对数函数指数函数y=ax的反函数，记作y=loga x（a是常数且a0,a1),称为对数函数对数函数y=logax的定义域为（0，+），图像过点（1，0）当a1时，y=logax单调增加；当0a1时，y=logax单调减少，如图1-19所示科学技术中常用以e为底的对数函数y=logex，它被称为自然对数函数，简记作y=lnx图1-19另外以10为底的对数函数y=log10x也是常用的对数函数，简记作y=lgx(4) 三角函数常用的三角函数有正弦函数y=sinx；余弦函数y=cosx；正切函数y=tanx；余切函数y=cotx，其中自变量以弧度作单位来表示它们的图形如图1-20，图1-21，图1-22和图1-23所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线图1-20图1-21图1-22 图1-23正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数，它们的定义域都为（-,+）,值域都为-1，1正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数由于cosx=sin（x+ ），所以，把正弦曲线y=sinx沿x轴向左移动个单位，就获得余弦曲线y=cosx正切函数y=tanx= 的定义域为D（f）=xxR，x(2n+1) ,n为整数余切函数y=cotx= 的定义域为D（f）=xxR，xn,n为整数正切函数和余切函数的值域都是（-，+），且它们都是以为周期的函数，它们都是奇函数另外，常用的三角函数还有正割函数y=secx； 余割函数y=cscx它们都是以2为周期的周期函数，且secx= ； cscx= (5) 反三角函数常用的反三角函数有反正弦函数 y=arcsinx（如图1-24）；反余弦函数 y=arccosx（如图1-25）；反正切函数 y=arctanx（如图1-26）；反余切函数 y=arccotx（如图1-27）它们分别称为三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx和y=cotx的反函数 图1-24 图1-25图1-26 图1-27这四个函数都是多值函数严格来说，根据反函数的概念，三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx,y=cotx在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y，有多个x与之对应但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数例如，y=sinx在闭区间- , 上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsinx的主值，记作y=arcsinx通常我们称y=arcsinx为反正弦函数其定义域为-1,1,值域为- , 反正弦函数y=arcsinx在-1,1上是单调增加的,它的图像如图1-24中实线部分所示类似地,可以定义其他三个反三角函数的主值y=arccosx,y=arctanx和y=arccotx，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数反余弦函数y=arccosx的定义域为-1，1，值域为0，在-1，1上是单调减少的，其图像如图1-25中实线部分所示反正切函数y=arctanx的定义域为（-,+）,值域为（- ，），在（-，+）上是单调增加的，其图像如图1-26中实线部分所示反余切函数y=arccotx的定义域为（-，+），值域为（0，），在（-，+）上是单调减少的，其图像如图1-27中实线部分所示以上五种类型的函数统称为基本初等函数.6. 初等函数定义11 由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数例如，y=3x2+sin4x，y=ln（x+ ），y=arctan2x3+ + 等等都是初等函数分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已例如，绝对值函数也可以表示成y=x= ；函数f（x）= 也可表示成f(x)= (1- )这两个函数也是初等函数7. 双曲函数与反双曲函数(1) 双曲函数双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数定义如下：双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 thx= = 双曲余切 cthx= = (x0)图1-28 图1-29其图像如图1-28和图1-29所示双曲正弦函数的定义域为（-，+），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称在（-，+）内单调增加双曲余弦函数的定义域为（-，+），它是偶函数，其图像通过点（0，1）且关于y轴对称，在（-，0）内单调减少；在（0，+）内单调增加双曲正切函数的定义域为（-，+），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称在（-，+）内是单调增加的双曲余切函数的定义域为xx0,xR,它是奇函数，其图像关于原点对称 由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立sh(xy)=shxchychxshy, ch(xy)=chxchyshxshy, sh2x=2shxchx, ch2x=ch2x+sh2x=1+2sh2x=2ch2x-1, ch2x-sh2x=1(2) 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，y=shx,y=chx和y=thx的反函数，依次记为反双曲正弦函数 y=arshx，反双曲余弦函数 y=archx，反双曲正切函数 y=arthx反双曲正弦函数y=arshx的定义域为（-，+），它是奇函数，在（-，+）内单调增加，由y=shx的图像，根据反函数作图法，可得y=arshx的图像（图1-30）利用求反函数的方法，不难得到y=arshx=ln（x+）反双曲余弦函数y=arshx的定义域为1，+），在1，+）上单调增加，如图131所示，利用求反函数的方法，不难得到y=archx=ln（x+）反双曲正切函数y=arthx的定义域为（-1，1），它在（-1，1）内是单调增加的它是奇函数，其图像关于原点（0，0）对称，如图1-32所示容易求得y=arthx=ln图1-30 图1-31 图1-32课堂总结本节复习了中学学过的函数有关知识，介绍了复合函数、反函数、基本初等函数与初等函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习做好准备.
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