分式方程应用题各类型

一 知识梳理 1 列分式方程解应用题的一般步骤为 设未知数 若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来 则称为直接设未 知数 否则称间接设未知数 列代数式 用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来 必要时作出示 意图或列成表格 帮助理顺各个量之间的关系 列出方程 根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程 解方程并检验 写出答案 注意 由于列方程解应用题是对实际问题的解答 所以检验时除从数学方面进 行检验外 还应考虑题目中的实际情况 凡不符合条件的一律舍去 2 分式方程应用题分类解析 分式方程应用性问题联系实际比较广泛 灵活运用分式的基本性质 有助 于解决应用问题中出现的分式化简 计算 求值等题目 运用分式的计算有助 于解决日常生活实际问题 一 营销类应用性问题 例 1 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙 种原料混合后 其平均价比原甲种原料 0 5kg 少 3 元 比乙种原料 0 5kg 多 1 元 问混合后的单价 0 5kg 是多少元 分析 市场经济中 常遇到营销类应用性问题 与价格有关的是 单价 总价 平均价等 要了解它们的意义 建立它们之间的关系式 二 工程类应用性问题 例 2 某工程由甲 乙两队合做 6 天完成 厂家需付甲 乙两队共 8700 元 乙 丙两队合做 10 天完成 厂家需付乙 丙两队共 9500 元 甲 丙两队合做 5 天完成全部工程的 厂家需付甲 丙两队共 5500 元 32 求甲 乙 丙各队单独完成全部工程各需多少天 若工期要求不超过 15 天完成全部工程 问由哪个队单独完成此项工程花 钱最少 请说明理由 分析 这是一道联系实际生活的工程应用题 涉及工期和工钱两种未知 量 对于工期 一般情况下把整个工作量看成 1 设出甲 乙 丙各队完成这 项工程所需时间分别为 天 天 天 可列出分式方程组 xyz 三 行程中的应用性问题 例 3 甲 乙两地相距 828km 一列普通快车与一列直达快车都由甲地开 往乙地 直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1 5 倍 直达快车比普通 快车晚出发 2h 比普通快车早 4h 到达乙地 求两车的平均速度 分析 这是一道实际生活中的行程应用题 基本量是路程 速度和时间 基本关系是路程 速度 时间 应根据题意 找出追击问题总的等量关系 即 普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等 四 轮船顺逆水应用问题 例 4 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时 间相等 已知水流速度为 2 千米 时 求船在静水中的速度 分析 此题的等量关系很明显 顺水航行 30 千米的时间 逆水中航行 20 千米的时间 即 设船在静水中的速度为 千米顺 水 航 行 速 度千 米30逆 水 航 行 速 度千 米0 x 时 又知水流速度 于是顺水航行速度 逆水航行速度可用未知数表示 问 题可解决 五 浓度应用性问题 例 5 要在 15 的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20 分析 浓度问题的基本关系是 浓度 此问题中变化前后三个基本溶 液溶 质 量的关系如下表 设加入盐 千克 x 溶液 溶质 浓度 加盐前 40 40 15 15 加盐后 40 x40 15 x20 根据基本关系即可列方程 六 货物运输应用性问题 例 6 一批货物准备运往某地 有甲 乙 丙三辆卡车可雇用 已知甲 乙 丙三辆车每次运货物量不变 且甲 乙两车单独运这批货物分别运 次 2a 次能运完 若甲 丙两车合运相同次数运完这批货物时 甲车共运了 180t a 若乙 丙两车合运相同次数运完这批货物时 乙车共运了 270t 问 乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍 现甲 乙 丙合运相同次数把这批货物运完时 货主应付车主运费各多 少元 按每运 1t 付运费 20 元计算 分析 解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比 再设出甲车每次运 货量是丙车每次运货量的 倍 列出分式方程 n 例题讲解 1 一队学生去校外参观 他们出发 30 分钟时 学校要把一个紧急 通知传给带队老师 派一名学生骑车从学校出发 按原路追赶队伍 若骑车的速 度是队伍进行速度的 2 倍 这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米 问这 名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间 请同学根据题意 找出题目中的等量关系 答 骑车行进路程 队伍行进路程 15 千米 骑车的速度 步行速度的 2 倍 骑车所用的时间 步行的时间 0 5 小时 请同学依据上述等量关系列出方程 答案 方法 1 设这名学生骑车追上队伍需 x 小时 依题意列方程为 15x 2 15 x 12 方法 2 设步行速度为 x 千米 时 骑车速度为 2x 千米 时 依题意列 方程为 15x 15 2x 12 解由方法 1 所列出的方程 已在复习中解出 下面解由方法 2 所列出的方 程 方程两边都乘以 2x 去分母 得 30 15 x 所以 x 15 检验 当 x 15 时 2x 2 15 0 所以 x 15 是原分式方程的根 并且符合 题意 所以骑车追上队伍所用的时间为 15 千米 30 千米 时 12 小时 答 骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟 指出 在例 1 中我们运用了两个关系式 即时间 距离速度 速度 距离 时 间 如果设速度为未知量 那么按时间找等量关系列方程 如果设时间为未知 量 那么按速度找等量关系列方程 所列出的方程都是分式方程 2 某工程需在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若由乙队 去做 要超过规定日期三天完成 现由甲 乙两队合做两天 剩下的工程由乙独 做 恰好在规定日期完成 问规定日期是多少天 分析 这是一个工程问题 在工程问题中有三个量 工作量设为 s 工作 所用时间设为 t 工作效率设为 m 三个量之间的关系是 s mt 或 t sm 或 m st 请同学根据题中的等量关系列出方程 答案 方法 1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数 设为 x 天 那么 乙单独完成工程所需的天数就是 x 3 天 设工程总量为 1 甲的工作效率就是 x1 乙的工作效率是 1x 3 依题意 列方程为 2 1x 1x3 x2 xx 3 1 指出 工作效率的意义是单位时间完成的工作量 方法 2 设规定日期为 x 天 乙与甲合作两天后 剩下的工程由乙单独 做 恰好在规定日期完成 因此乙的工作时间就是 x 天 根据题意列方程 2x xx 3 1 方法 3 根据等量关系 总工作量 甲的工作量 乙的工作量 设规定日 期为 x 天 则可列方程 1 2x 2x 3 x 2x 3 重点是找等量关系列方程 总结 1 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同 不同点是 解分式方程必须要验根 一方面要看原方程是否有增根 另一 方面还要看解出的根是否符合题意 原方程的增根和不符合题意的根都应 舍去 2 列分式方程解应用题 一般是求什么量 就设所求的量为未知数 这种 设未知数的方法 叫做设直接未知数 但有时可根据题目特点不直接设题目 所求的量为未知量 而是设另外的量为未知量 这种设未知数的方法叫做 设间接未知数 在列分式方程解应用题时 设间接未知数 有时可使解答变 得简捷 练习 1 某工人师傅先后两次加工零件各 1500 个 当第二次加工时 他革新了工具 改进了操作方法 结果比第一次少用了 18 个小时 已知他第二次加工效率是第 一次的 2 5 倍 求他第二次加工时每小时加工多少零件 2 一辆汽车从甲地到乙地用去油箱里汽油的 25 从乙地到丙地用去余下汽油 的 40 结果油箱里剩下 9 升汽油 问油箱里原来有汽油多少升 1 甲加工 180 个零件所用的时间 乙可以加工 240 个零件 已知甲每小时比乙 少加工 5 个零件 求两人每小时各加工的零件个数 2 A B 两地相距 135 千米 有大 小两辆汽车从 A 地开往 B 地 大汽车比小 汽车早出发 5 小时 小汽车比大汽车晚到 30 分钟 已知大 小汽车速度的比为 2 5 求两辆汽车的速度 1 某人骑自行车比步行每小时多走 8 千米 如果他步行 12 千米所用时间与骑 车行 36 千米所用的时间相等 求他步行 40 千米用多少小时 4 已知轮船在静水中每小时行 20 千米 如果此船在某江中顺流航行 72 千米所 用的时间与逆流航行 48 千米所用的时间相同 那么此江水每小时的流速是多少 千米 5 甲 乙两个工程队共同完成一项工程 乙队先单独做 1 天后 再由两队合作 2 天就完成了全部工程 已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所 需天数的 求甲 乙两队单独完成各需多少天 3 6 轮船在一次航行中顺流航行 80 千米 逆流航行 42 千米 共用了 7 小时 在 另一次航行中 用相同的时间 顺流航行 40 千米 逆流航行 70 千米 求这艘 轮船在静水中的速度和水流速度 7 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场 就用 8 万元购进这种衬衫 面 市后果然供不应求 商厦又用 17 6 万元购进了第二批这种衬衫 所购数量是第 一批购进量的 2 倍 但单价贵了 4 元 商厦销售这种衬衫时每件定价都是 58 元 最后剩下的 150 件按八折销售 很快售完 在这两笔生意中 商厦共赢利多少 元 8 一个批发兼零售的文具店规定 凡一次购买铅笔 300 枝以上 不包括 300 枝 可以按批发价付款 购买 300 枝以下 包括 300 枝 只能按零售价付款 小明来该店购买铅笔 如果给八年级学生每人购买 1 枝 那么只能按零售价付 款 需用 120 元 如果购买 60 枝 那么可以按批发价付款 同样需要 120 元 1 这个八年级的学生总数在什么范围内 2 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同 那么这个学校八年 级学生有多少人 9 某客车从甲地到乙地走全长 480Km 的高速公路 从乙地到甲地走全长 600Km 的普通公路 又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km 由高 速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半 求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间 10 我部队到某桥头狙击敌人 出发时敌人离桥头 24 千米 我部队离桥头 30 千米 我部队急行军速度是敌人的 1 5 倍 结果比敌人提前 48 分钟到达 求我 部队的速度 11 某人现在平均每天比原计划多加工 33 个零件 已知现在加工 3300 个零件 所需的时间和原计划加工 2310 个零件的时间相同 问现在平均每天加工多少个 零件