导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

1 导数习题题型十七 含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1 求导后 导函数的解析式含有参数 导函数为零有实根 或导函数的分子能分解因式 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内 但不知这些实根的大小关系 从而引起讨论 已知函数 a 0 求函数的单调区间axxf 2 13 a 例 1 已知函数 a 0 求函数的单调区间xfln 22 xaaxf 例 3 已知函数 其中 21f R 当 时 求曲线 在点 处的切线方程 1a yfx 2f 当 时 求函数 的单调区间与极值 0 解 当 时 曲线 在点 处的切线方程为 yfx f 03256 yx 由于 所以 由 得 这两个实根都在0a 12 xaf 0fx 12 a 定 义域 R 内 但不知它们之间 22 211axaxaaf 的大小 因此 需对参数 的取值分 和 两种情况进行讨论 0 1 当 时 则 易得 在区间 内为减函数 0a 12x fx a 在区间 为增函数 故函数 在 处取得极小值 1 f1 21fa 函数 在 处取得极大值 fx2a fa 1 当 时 则 易得 在区间 内为增函数 在区间0a 1x x 1 a 为减函数 故函数 在 处取得极小值 函数 在 f1a 2f fx 处取得极大值 2xa fa 2 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点 在求解有关含参数的导数问题时 可按上述三 点的顺序对参数进行讨论 因此 对含参数的导数问题的讨论 还是有一定的规律可循的 当然 在具 体解题中 可能要讨论其中的两点或三点 这时的讨论就更复杂一些了 需要灵活把握 区间确定零点不确定的典例 例 4 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司交 a 元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为 x 元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万 件 1 求分公司一年的利润 L 万元 与每件产品的售价 x 的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润 L 最大 并求出 L 的最大值 Q a 解 1 分公司一年的利润 L 万元 与售价 x 的函数关系式为 L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 L x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令 L 0 得 x 6 a 或 x 12 不合题意 舍去 3 3 a 5 8 6 a 28 在 x 6 a 两侧 L 的值由正变负 32 所以 当 8 6 a 9 即 3 a 时 29 Lmax L 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当 9 6 a 即 a 5 时 328 Lmax L 6 a 6 a 3 a 12 6 a 2 4 3 a 3 所以 Q a 31 529 31 4 69aa 答 若 3 a 则当每件售价为 9 元时 分公司一年的利润 L 最大 最大值 Q a 9 6 a 万元 29 若 a 5 则当每件售价为 6 a 元时 分公司一年的利润 L 最大 最大值 Q a 4 3 a 3 万元 2932 1 导函数零点确定 但区间端点不确定引起讨论的典例 例 2 已知 2 ln3 xaxgxf 求函数 的单调区间 求函数 xf在 02 tt上的最小值 对一切的 0 2 xgf恒成立 求实数 a的取值范围 解 10 1ln exfxf 解 得令 1 0 exf的 单 调 递 减 区 间 是 xL 0 y x129 xL X 12318a 3 1 0 exf 解 得令 的 单 调 递 增 是 ef 0 t t 2 t 无解 0 t 1 t 2 即 0 t0 求函数的单调区间 2ln 1 xaxf af 1 2 例 3 已知 是实数 函数 fxa 求函数 的单调区间 fx 设 为 在区间 上的最小值 ga 0 2 写出 的表达式 i 求 的取值范围 使得 62ga 4 解 函数的定义域为 由 0 3022axxaf 得 考虑 是否落在导函数 的定义域 内 需对参数 的取值分 0fx 3a f 0 及 两种情况进行讨论 a 1 当 时 则 在 上恒成立 所以 的单调递增区间为 0fx fx 0 2 当 时 由 得 由 得 0 3a 0f 3a 因此 当 时 的单调递减区间为 的单调递增区间为 a fx fx 3a 由第 问的结论可知 i 1 当 时 在 上单调递增 从而 在 上单调递增 所以0 f 0 f 0 2 ga 2 当 时 在 上单调递减 在 上单调递增 所以 0 fx0 3a 3a 当 即 时 在 上单调递减 在 上单调递增 23a 6 fx0 23a 所以 23agf 93a 当 即 时 在 上单调递减 所以 2 3a 6 fx 0 2 2gafa 综上所述 0 32 6aga 令 i 6ga 若 无解 0 若 由 解得 23a 36a 若 由 解得 6a 2 综上所述 的取值范围为 2a 5 三 求导后 因导函数为零是否有实根 或导函数的分子能否分解因式 不确定 而引起的讨论 例 1 已知函数 求函数的单调区间xaxf 21 axf 例 2 已知函数 求函数的单调区间xf ln axf 1 axf1 例 3 设 函数 kR 1 xfFfxkR 试讨论函数 的单调性 Fx 解 1 fFxfkxRx 21 11 2kxkxFxfkxxx 考虑导函数 是否有实根 从而需要对参数 的取值进行讨论 0 xk 一 若 则 由于当 时 无实根 而当 时 1 21 kxF 0 0Fx 0k 有实根 0Fx 因此 对参数 分 和 两种情况讨论 k 0k 1 当 时 在 上恒成立 所以函数 在 上为增函数 Fx 1 Fx 1 2 当 时 0k 221 1kxkkkxx 由 得 因为 所以 Fx121 kk 0 12x 由 得 由 得 0 x Fx k 6 因此 当 时 函数 在 上为减函数 在 上为增函数 0k Fx1 k 1 k 二 若 则 由于当 时 无实根 而当 时 1x12 kx 0 0Fx 0 有实根 因此 对参数 分 和 两种情况讨论 0F 0 1 当 时 在 上恒成立 所以函数 在 上为减函数 k Fx 1 x 1 2 当 时 0 122 1kkxkx 由 得 由 得 Fx 24 0F 24 因此 当 时 函数 在 上为减函数 在 上为增函数 0k x21 4k 21 k 综上所述 1 当 时 函数 在 上为减函数 在 上为增函数 在k Fx k 1 k 上为减函数 2 当 时 函数 在 上为增函数 在 上为减函数 0k x 1 1 3 当 时 函数 在 上为增函数 在 上为减函数 在 F 2 4k 上为增函数 21 4k 19 设 a 0 讨论函数 f x lnx a 1 a x 2 2 1 a x 的单调性 解 函数 的定义域为 fx 0 1 1 aa 当 的判别式21 0ax 时 方 程 a 2 3 当 有两个零点 0 03f 时 1 1 2 1 31 2aaxx 7 且当 内为增函数 12 120 0 xxffxx 或 时 在 与 当 内为减函数 12 12 f 时 在 当 内为增函数 3axfx 时 所 以 在 当 内为增函数 1 0 0f 时 在 当 时 a 1 231aax 1 231ax 由 22 2 4 311aa 42 412 0 42 a 0 0 是增函数 在 上 0 是 a f f a3xf f 3a xf f 增函数 所以函数在 x a 时 所以函数在 x a 时 fxf 极 大 fxf 极 小 因对 有 恒成立 求实数 的取值范围 极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨 0 3x 4f 论 讨论如下 a 0 当两个极值点都在指定区间 内时 即 0 3a 3 也就是 0 a0 时为什么分为 3 0 0 a0 是增函数 在 上 0 是增函数 a 0 xf f a xf f 3axf f 所以函数在 x a 时 所以函数在 x a 时 ff 极 大 ff 极 小 3 maxff afxf3 0mini 有 恒成立 0 4 等价于 0431fa 0427596133aa 9 解得 即 0 a 1 932193210a 当两个极值点有一个在指定区间 内时 即 03 时 也就是 10 3 0 时为什么分为 0 a0 是增函数 在 上 3 时 当 a 0 时为什么分为 0 a0 是增函数 与 矛盾 3 0 xf f 041843max ff 04 xf 综上 对 有 恒成立时 实数 的取值范围是 4 932 a 例 4 设函数 其中 求函数 的极值点 2ln1fxbx 0b fx 解 由题意可得 的定义域为 的分母 在f 2 21bxbf f1x 定义域 上恒为正 方程 是否有实根 需要对参数 的取值进行讨论 1 20 xb 1 当 即 时 方程 无实根或只有唯一根 所以480b 1 2x2x 在 上恒成立 则 在 上恒成立 所以函数 在 2gxx f 1 fx 上单调递增 从而函数 在 上无极值点 fx 1 2 当 即 时 方程 即 有两个不相等的实根 480b 2 20 xb 0fx 121 x 这两个根是否都在定义域 内呢 又需要对参数 的取值分情况作如下讨论 b 10 当 时 所以 0b 121 12bbxx 12 1 xx 此时 与 随 的变化情况如下表 ffx21 x 2 2 x f 0 x 递减 极小值 递增 由此表可知 当 时 有唯一极小值点 0b fx21bx 当 时 所以1212 12b 此时 与 随 的变化情况如下表 1 xx fxfx112 2 fx 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知 当 时 有一个极大值点 和一个极小值点102b fx12bx 21x 综上所述 1 当 时 有唯一极小值点 0b fx12bx 2 当 时 有一个极大值点 和一个极小值点 12f 12bx 3 当 时 无极值点 b fx 从以上诸例不难看出 在对含参数的导数问题的讨论时 只要把握以上三个基本讨论点 那么讨论 就有了方向和切入点 即使问题较为复杂 讨论起来也会得心应手 层次分明 从而使问题迎刃而解 19 小问 5 分 小问 7 分 11 已知函数 32 fxabx 其中常数 a b R gxfx 是奇函数 求 的表达式 讨论 gx的单调性 并求 gx在区间 1 2 上的最大值和最小值 21 已知函数 1 ln afxRx I 当 1a 时 求曲线 yf在点 2 f处的切线方程 II 当 12a 时 讨论 fx的单调 性 解 当 所以 xf时 0 1ln x f2 0 x 因此 即 曲线 又 所以 1f 1 2 处 的 切 线 斜 率 为 在 点 fxfy 2ln f 曲线 02ln 2ln yx xyf即 处 的 切 线 方 程 为 在 点 因为 所以 1ln xaxf 21 xaxf 21xa 12 令 0 x 1 2axg 0 1 当 ah时 所以 当 函数 单调递减 1 0 xxfx 时 此 时 fx 当 时 此时 单调递 0 函 数 2 当 即 解得0a 时 由 f 21ax 12 1xa 当 时 恒成立 1 12 xh 此时 函数 在 0 上单调递减 f f 当 0 2a 时 时 单调递减 1 x hxfxfx 此 时 函 数 时 单调递增 a0 0此 时 函 数 此时 函数 单调递减 xx 时 fx fx 当 时 由于0 1 时 此时 函数 单调递减 x hx 0fx fx 时 此时 函数 单调递增 1 0 综上所述 当 时 函数 在 上单调递减 0a fx 函数 在 上单调递增 fx 当 时 函数 在 0 上单调递减 12 fx 当 时 函数 在 0 1 上单调递减 0a 函数 在 上单调递增 fx1 函数 上单调递减 a 在 22 已知函数 1 lnafxx R 当 12a 时 讨论 f的单调性 13 设 2 4 gxb 当 1a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 21 x 使12f 求实数 取值范围 解 因为 所以 1 lnfxax 2 0 axafxx 令 2 0 ha 当 时 恒成立 此时 函数 在 上单调递减 12a 2 0 xh 0fx fx 0 当 01 时 时 此时 函数 单调递减 1 x x fx fx 时 此时 函数 单调递增 a0h 0 时 此时 函数 单调递减 x x fx fx 当 时 由于 0 1 此时 函数 单调递减 x hx 0fx fx 时 此时 函数 单调递增 1 综上所述 0 因为 a 由 知 1 3 当 时 函数1 42 1x2 0 0 1 x 0fx 单调递减 当 时 fx min 7 84 8gxbb 2 函数 单调递增 所以 在 0 2 上的最小值为 0f f fx1 f 由于 对任意 存在 使 等价于1 2x 21 12 gx 14 在 上的最小值不大于 在 0 2 上的最小值 gx 1 2 fx12 又 所以24b 1 当 时 因为 此时与 矛盾 min 520gxb 当 时 因为 同样与 矛盾 1 2 i4 当 时 因为 解不等式 8 4b 可得 b min 8xg12 78b 综上 b 的取值范围是 17 8 21 已知函数 2 ln1fxax 讨论函数 fx的单调性 设 2 证明 对任意 2 0 1212 4 x 解 f x 的定义域为 0 aaxfx 当 a 0 时 fx 0 故 f x 在 0 单调增加 当 a 1 时 0 故 f x 在 0 单调减少 当 1 a 0 时 令 fx 0 解得 x 12a 当 x 0 12a 时 fx 0 x 2 时 f 0 故 f x 在 0 单调增加 在 12a 单调 减少 不妨假设 x1 x 2 由于 a 2 故 f x 在 0 单调减少 所以 12 4ffx 等价于12 4x 1 4x 2 即 f x2 4x2 f x 1 4x1 令 g x f x 4x 则 agxx 4 241 于是 gx 2x 2 1 x 0 15 从而 g x 在 0 单调减少 故 g x1 g x 2 即 f x 1 4x1 f x 2 4x2 故对任意 x1 x2 0 1212 4fxfx 21 已知函数 ln axf I 讨论函数 的单调性 II II 设 1 a 如果对任意 0 21 x 4 2121xxff 求 a的取值范围 解 fx的定义域为 0 2 aafxx 当 a 时 f 0 故 fx在 0 单调增加 当 1 时 x 0 故 在 0 单调减少 当 1 a 0 时 令 f 0 解得 12ax 则当 1 2x 时 f 0 时 fx 0 故 f在 0 a单调增加 在 1 2a 单调减少 不妨假设 12x 而 1 由 知在 0 单调减少 从而 1212 4fxfx 等价于 12x 令 4gfx 则 agx 等价于 在 0 单调减少 即 1240a 从而 2221 1xxa 故 a 的取值范围为 2 18 已知函数 f In 1 2 k 0 当 k 2 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 求 f x 的单调区间 解 I 当 2 时 2ln1 x 1 2f 16 由于 1 ln2f 3 1 f 所以曲线 yfx 在点 1 f处的切线方程为3lyx 即 2ln30 x II 1kf 当 k时 1xf 所以 在区间 1 0 上 0 x 在区间 上 fx 故 fx得单调递增区间是 0 单调递减区间是 当 k 时 由 1 0kfx 得 1 2k 所以 在区间 1 和 上 fx 在区间 0 上 fx 故 fx得单调递增区间是 和 k 单调递减区间是 1k 当 1k 时 2 1xf 故 f得单调递增区间是 当 时 0kf 得 1 0kx 2x 所以没在区间 和 上 f 在区间 1 k上 0fx 故 fx得单调递增区间是 1k和 单调递减区间是 20 本小题满分 16 分 设 xf是定义在区间 1 上的函数 其导函数为 xf 如果存在实数 a和 函数 xh 其中 对任意的 都有 xh 0 使得 1 2 ahxf 则称函数f 具有性质 aP 1 设函数 xf2ln 1 bx 其中 b为实数 i 求证 函数 具有性质 ii 求函数 xf的单调区间 2 已知函数 xg具有性质 2 P 给定 1212 x 设 m为实数 21m m 且 若 0 所以对任意的 都有 0 x 在 上递增 又 1212 xm 当 m 时 且 1212 xmxxm 18 综合以上讨论 得 所求 m的取值范围是 0 1 方法二 由题设知 gx的导函数 2 1 gxhx 其中函数 0hx 对于任意的 1 x 都成立 所以 当 时 0 从而 g在区间 1 上单调递增 当 0 m时 有 1211 mxxmx 12x 得 2 同理可得 12 x 所以由 gx的单 调性知 g 12 gx 从而有 符合题设 当 0m 时 122 1 xmxx 121 于是由 1 及 gx的单调性知gxg 所以 g 2 与题设不符 当 m 时 同理可得 12 x 进而得 21x 与题设不符 因此综合 得所求的 m的取值范围是 0 1 待研究的以下问题 在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题 在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题 在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题 参考资料 导数的应用与分类讨论 例 设函数 f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 8 其中 a R 19 若 f x 在 x 3处取得极值 求常数 a 的值 若 f x 在 上为增函数 求 a 的取值范围 解 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x a x 1 f x 在 x 3处取得极值 f a 0 a 3 检验知成立 由 f x 6 x a x 1 0得 x1 a 或 x2 1 若 a0 所以 f x 在 a 和 上为增函数 而 f x 在 上为增函数 所以 a0 所以 f x 在 1 和 a 上为增函 数 f x 在 上也为增函数 综上 所求 a 的取值范围为 点评 中对 a 的值进行分类讨论 当 a0 当 x 变化时 函数递增与递减及极值情况如下表 若 ax0时 h x 0 当 x x0时 h x 0 且 b 1 是不等式成立的必要条件 下面在 a 0 且0 b 1的条件下求 a 与 b 所满足的关系式及 b 的取值范围 x2 1 ax b x2 ax 1 b 0 对任意 x 0 成立的充要条件是 x2 ax 1 b 在 0 上的最小值 b 0 即 a 2 令 S x ax b 则对于任意 x 0 不等式 ax b 恒成立 S x 0 由 x a 0得 x a 3 则当0 x a 3时 x a 3时 x 0 所以当 x a 3时 x 取得 最小值 因此 x 的充要条件是 a 3 0 即 a a 3 b 0 解得 a 故 a b 所满足的关系式为 a 2 解不等式 2 得 b 这就是所求的 b 的取值范围 点评 在 中判断 x0是 h x 惟一的极值点 在 中求 x 的最小值 都用到了分类讨论