勾股定理的九种证明方法(附图)

勾股定理的证明方法 一 传说中毕达哥拉斯的证法 图1 左边的正方形是由1个边长为 的正方形和1个边长为 的正方形以及4个直 角边分别为 斜边为 的直角三角形拼成的 右边的正方形是由1个边长 为 的正方形和4个直角边分别为 斜边为 的直角三角形拼成的 因为 这两个正方形的面积相等 边长都是 所以可以列出等式 化简得 二 美国第20任总统茄菲尔德的证法 图3 这个直角梯形是由2个直角边分别为 斜边为 的直角三角形和1个直 角边为 的等腰直角三角形拼成的 因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积 所 以可以列出等式 化简得 三 相似三角形的证法 4 相似三角形的方法 在学习了相似三角形以后 我们知道在直角三 角形中 斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原 三角形相似 如图 Rt ABC 中 ACB 90 作 CD AB 垂足为 D 则 BCD BAC CAD BAC 由 BCD BAC 可得 BC2 BD BA 由 CAD BAC 可得 AC2 AD AB 我们发现 把 两式相加可得 C A B D BC2 AC2 AB AD BD 而 AD BD AB 因此有 BC2 AC2 AB2 这就是 a2 b2 c2 这也是一种证明勾股定理的方法 而且也很简洁 它利用了相似三角形的知识 四 古人的证法 如图 将图中的四个直角三角形涂上深红色 把中间小正方形涂上白色 以 弦为边的正方形称为弦实 然后经过拼补搭配 令出入相补 各从其类 他 肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的 即 勾股各自乘 并之为弦实 开 方除之 即弦也 赵爽对勾股定理的证明 显示了我国数学家高超的证题思 想 较为简明 直观 五 项明达证法 作两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜边长为 c 再做一个边长为 c 的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 使 E A C 三点在一条直线上 过点 Q 作 QP BC 交 AC 于点 P 过点 B 作 BM PQ 垂足为 M 再过点 F 作 FN PQ 垂足为 N BCA 90 QP BC MPC 90 BM PQ BMP 90 BCPM 是一个矩形 即 MBC 90 QBM MBA QBA 90 ABC MBA MBC 90 QBM ABC 又 BMP 90 BCA 90 BQ BA c Rt BMQ Rt BCA 同理可证 Rt QNF Rt AEF 即 a 2 b 2 c 2 六 欧几里德射影定理证法 如图 Rt ABC 中 ABC 90 AD 是斜边 BC 上的高 通过证明三角 形相似则有射影定理如下 1 BD 2 AD DC 2 AB 2 AD AC 3 BC 2 CD AC 由公式 2 3 得 AB 2 BC 2 AD AC CD AC AD CD AC AC 2 即 AB 2 BC 2 AC 2 七 杨作玫证法 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜 边长为 c 再做一个边长为 c 的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 过 A 作 AF AC AF 交 GT 于 F AF 交 DT 于 R 过 B 作 BP AF 垂足为 P 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直 垂足为 E DE 交 AF 于 H BAD 90 PAC 90 DAH BAC 又 DHA 90 BCA 90 AD AB c Rt DHA Rt BCA DH BC a AH AC b 由作法可知 PBCA 是一个矩形 所以 Rt APB Rt BCA 即 PB CA b AP a 从而 PH b a Rt DGT Rt BCA Rt DHA Rt BCA 9 8 7 6543 2 1 P Q R T H G F E D CB A a b c a bcc c Rt DGT Rt DHA DH DG a GDT HDA 又 DGT 90 DHF 90 GDH GDT TDH HDA TDH 90 DGFH 是一个边长为 a 的正方形 GF FH a TF AF TF GT GF b a TFPB 是一个直角梯形 上底 TF b a 下底 BP b 高 FP a b a 用数字表示面积的编号 如图 则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSc abb 8 b2 1 95 8 2431SaS 812S 把 代入 得 981212bc 9 2a 22ca 8 陈杰证法 设直角三角形两直角边的长分别为 a b b a 斜边的长为 c 做两个边 长分别为 a b 的正方形 b a 把它们拼成如图所示形状 使 E H M 三点 在一条直线上 用数字表示面积的编号 如图 在 EH b 上截取 ED a 连结 DA DC 则 AD c EM EH HM b a ED a DM EM ED a b 又 CMD 90 CM a AED 90 AE b Rt AED Rt DMC EAD MDC DC AD c ADE ADC MDC 180 ADE MDC ADE EAD 90 ADC 90 作 AB DC CB DA 则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 BAF FAD DAE FAD 90 BAF DAE 连结 FB 在 ABF 和 ADE 中 AB AD c AE AF b BAF DAE ABF ADE AFB AED 90 BF DE a A B C DE F G H M a b c ab c a c a b c1 2 3 45 6 7 点 B F G H 在一条直线上 在 Rt ABF 和 Rt BCG 中 AB BC c BF CG a Rt ABF Rt BCG 5432SS 6212Sb 732Sa 7651 6213ba 72 543SS c 22ba 9 辛卜松证法 设直角三角形两直角边的长分别为 a b 斜边的长为 c 作边长是 a b 的 正方形 ABCD 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 ba22 把正方形 ABCD 划分成上方右图所 示的几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 2214cab 2 22c cba ab2121ab21ab21c2b2aA AD D B BC C b a b a b a b ab a cc c c b a ab ab b ab a