高等数学常用极限求法[1]1

一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I）(II) (M为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有 (II)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七: 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).3设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：常用等价无穷小：当变量时，例1 求解 ， 故，原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ，故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小解 而左边，故 即 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . 1求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. 3例6 求.分析 秘诀强行代入，先定型后定法.（此为强行代入以定型）.可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或 或. 解 ，由洛必达法则的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.（二次使用洛必达法则）.例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型：例14 求.解 原式.“”型：例15 求 .解 ，故原式.“”型：例16 求.解 原式.“”型：例17 求.解 原式. “”型：例18 求.解 原式，而，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有+(-)+(-)+(-)+()其中，这里是与之间的某个值. 1例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.解 由于公式的分母，我们只需将分子中的代入计算，于是 ，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.例20 ， ， .2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.1l 例22 求.l 解 ， ，根据夹逼定理 .2.6 等比等差数列公式（的绝对值要小于） 1例23 设，证等比数列1，的极限为0.证 任取，为使，而，使，即，当，当时，即，即，由定义知.因此,很显然有:.2.7 各项以拆分相加3将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求.解 原式 =.2.8 求左右极限的方式例25 求函数，求时，的极限.解 ，因为，所以，当时，的极限不存在.例26 .解 ，因为，所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限，例27 求.解 记 ，则原式= .例28 求.解 原式=.例29 求.解 原式=.2.10 根据增长速度 例30 求.解 原式=.例31 求.解 .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： .故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例32 .解 令，则原式=2.12 利用极限的运算法则1利用如下的极限运算法则来求极限：(1) 如果那么若又有，则（2）如果存在，而为常数，则（3）如果存在，而为正整数，则（4）如果，而，则（5）设有数列和，如果那么，当且时，2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例33 已知 ,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.解 由已知得: .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立： ；（2）设函数在区间上连续，取，如果极限 存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分： 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；其次，计算的近似值 ；然后，求和，得的近似值 ；最后，求极限，得.例34 设函数连续，且，求极限 .解 =，.例35 计算反常积分: .解 =.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.3例36 数列:，极限存在吗？解 由已知可得单调递增且有界，由单调有界原理，知 存在又，记，即可证，得到 .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即 ；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ，求.解 .例37 若函数有连续二阶导数且， 则 .A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解 .所以，答案为D.例38 若，求.解 .2.16 利用连续性求极限1例39 设在处有连续的一阶导数，且，求.解 原式 .2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是趋近，而不是趋近.面对数列极限时，先要转化成求趋近情况下的极限，当然趋近是趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的当然是趋于正无穷的）.1例40 求.解 令,则原式，所以在时，与等价，因此，原式.29