二次函数竞赛题

第 1 页 共 8 页 二次函数竞赛题 1 二次函数 的图象的顶点为 D 与 x 轴正方向从左至右依次交于 A B 两点 与 y 轴正方向cbxy 2 交于 C 点 若 ABD 和 OBC 均为等腰直角三角形 O 为坐标原点 则 cb2 2 在直角坐标系中有三点 A 0 1 B 1 3 C 2 6 已知直线 上横坐标为 0 1 2 的点分baxy 别为 D E F 试求 的值使得 AD2 BE2 CF2达到最小值 ba 3 2004 年 TRULY 信利杯 全国初中数学竞赛试题 实数 x y z 满足 x y z 5 xy yz zx 3 则 z 的最大 值是 4 已知直线 与抛物线 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 那么 OAB 的面积等于32 xy2xy 5 2003 年 TRULY 信利杯 全国初中数学竞赛试题 已知二次函数 y ax2 bx c 其中 a 是正整数 的图象 经过点 A 1 4 与点 B 2 1 并且与 x 轴有两个不同的交点 则 b c 的最大值为 6 设抛物线 的图象与 x 轴只有一个交点 1 求 a 的值 2 求 的 45212 axy 61832 a 值 7 通过实验研究 专家们发现 初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的 讲课开 始时 学生的兴趣激增 中间有一段时间 学生的兴趣保持平稳的状态 随后开始分散 学生注意力指标数 y 随时间 x 分钟 变化的函数图象如图所示 y 越大表示学生注意力越集中 当 时 图象是抛物10 x 线的一部分 当 和 时 图象是线段 201 x40 x 1 当 时 求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式 0 2 一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟 问老师能否经过适当安排 使学生在听这道题时 注意力的指标数都不低于 36 第 2 页 共 8 页 8 课题研究 现有边长为 120 厘米的正方形铁皮 准备将它设计并制成一个开口的水槽 使水槽能通过的水 的流量最大 初三 1 班数学兴趣小组经讨论得出结论 在水流速度一定的情况下 水槽的横截面面积越大 则通过 水槽的水的流量越大 为此 他们对水槽的横截面进行了如下探索 1 方案 把它折成横截面为直角三角形的水槽 如图 a 若 ACB 90 设 AC x 厘米 该水槽的横截面面积为 y 厘米 2 请你写出 y 关于 x 的函数关系式 不必 写出 x 的取值范围 并求出当 x 取何值时 y 的值最大 最大值又是多少 方案 把它折成横截面为等腰梯形的水槽 如图 b 若 ABC 120 请你求出该水槽的横截面面积 的最大值 并与方案 中的 y 的最大值比较大小 2 假如你是该兴趣小组中的成员 请你再提供两种方案 使你所设计的水槽的横截面面积更大 画 出你设计的草图 标上必要的数据 不要求写出解答过程 9 如图 抛物线 与双曲线 相交于点 A B 已知点 A 的坐标为 1 4 点 B 在第2 0 yaxb kyx 三象限内 且 AOB 的面积为 3 O 为坐标原点 1 求实数 a b k 的值 2 过抛物线上点 A 作直线 AC x 轴 交抛物线于另一点 C 求所有 满 足 EOC AOB 的点 E 的坐标 10 如图 抛物线 与 轴交于 两点 与 轴交于 点 230ymx xAB yC 1 请求出抛物线顶点 的坐标 用含 的代数式表示 两点的坐标 M 2 经探究可知 与 的面积比不变 试求出这个比值 BC A 3 是否存在使 为直角三角形的抛物线 若存在 请求出 如果不存在 请说明 理由 第 3 页 共 8 页 11 已知抛物线 与动直线 有公共点 且 2yx cxty 12 1yx 2 3221 tx 1 求实数 t 的取值范围 2 当 t 为何值时 c 取到最小值 并求出 c 的最小值 12 已知 且 求 的最小值 0 a b0 cacb242 ac42 13 在自变量 x 的取值范围 59 x 60 内 二次函数 的函数值中整数的个数是 21yx A 59 B 120 C 118 D 60 14 在直角坐标系中 抛物线 与 x 轴交于 A B 的两点 若 A B 两点到原点的距223 0 4yxm 离分别为 OA OB 且满足 则 m 1OBA 15 Rt ABC 的三个顶点 A B C 均在抛物线 上 并且斜边 AB 平行于 x 轴 若斜边上的高为 h 则2xy A h 1 B h 1 C 1 h2 16 设 0 k 1 关于 x 的一次函数 当 1 x 2 时的最大值是 1 kxy A k B C D k12 k1 17 平面直角坐标系中 如果把横坐标 纵坐标都是整数的点叫做整点 那么函数 的图象上整点12 xy 的个数是 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 18 函数 的最小值是 12 xy 19 对 二次函数 的最小值为 20ba bxay 第 4 页 共 8 页 图 6 2 y x 0 1 A B C D 2 ba 2 ba 2 ba 2 ba 20 两抛物线 和 与 x 轴交于同一点 非原点 且 a b c 为正数 22baxy 22bcxy a c 则以 a b c 为边的三角形一定是 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰或直角三角形 21 当 n 1 2 3 2003 2004 时 二次函数 的图象与 x 轴所截得的线1 2 2 xnxny 段长度之和为 A B C D 020432054065 22 已知二次函数 图象如图 6 2 所示 则下列式子 ab ac a b c cbxay a b c 2a b 2a b 中 其值为正的式子共有 个 23 如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时 抛物线 在平面直角坐标系上都过两mxy321 个定点 那么这两个定点间的距离为 24 已知抛物线 与 x 轴两个交点 A B 不全在原点的左侧 抛物线顶点为 C 要使 ABC1 2 kxy 恰为等边三角形 那么 k 的值为 25 设 x 为实数 则函数 的最小值是 12563 xy 26 设二次函数 的图象经过点 2 1 且与 x 轴交于不同的两点 A x 1 0 B x 2 0 qpxy 2 M 为二次函数图象的顶点 求使 AMB 面积最小时的二次函数的解析式 27 已知 3x 2 2y2 6x x 和 y 都是实数 求 x 2 y2 的最大 最小值 28 中 B AC 1 求 BA BC 的最大值及这时三角形的形状 AC 60 第 5 页 共 8 页 FE G A B CD A t s O N M H G F E D C BA D t s O B t s O C t s O 29 如图 点 在直线 上 点 在直线 上 若 从如图所示 的GDCaEFABbab RtEF 位置出发 沿直线 向右匀速运动 直到 与 重合 运动过程中 与矩形 重合部分的面积bGCEF AB 随时间 变化的图象大致是 S t 30 南京 如图 分别是边长为 的正方形 的边 上的点 直线 EF4ABC 413E EF 交 的延长线于 过线段 上的一个动点 作 垂足分别为 设 ABGHMG NA MN x 矩形 的面积为MHNy 求 与 之间的函数关系式 x 当 为何值时 矩形 的面积最大 最大面积为多少 AN 31 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图 1 所示 1 请说明图中 两段函数图象的实际意义 2 写出批发该种水果的资金金额 w 元 与批发量 m kg 之间的函数关系式 在下图的坐标系中画出该 函数图象 指出金额在什么范围内 以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 3 经调查 某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 2 所示 该经销商拟每日 售出 60kg 以上该种水果 且当日零售价不变 请你帮助该经销商设计进货和销售的方案 使得当日获得的利 润最大 第 6 页 共 8 页 21Ox 价价 kg价价价价价O 602045 764080 价价价价价价 kg价O32 函数 的最小值为 m 则当 m 达到最大时 x 623 12 kxkxy 2004 年全国初中数学联赛 33 设 a b 为实常数 k 取任意实数时 函数 的图像与 x 3 2 1 22 bakxkaxky 轴交于点 A 1 0 1 求 a b 的值 2 若函数与 x 轴的另一个交点为 B 当 k 变化时 求 AB 的最大值 34 2007 年福州 如图所示 二次函数 a 0 的图象经过点 1 2 且与 x 轴交点的2yxbc 横坐标分别为 其中 2 1 0 1 下列结论 1x2 a 1 其中正确的有 40abc b 284c A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 35 2007 年天门 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道 其高度为 6 米 宽度 OM 为 12 米 现在 O 点为原点 OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 如图所示 1 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标 2 求出这条抛物线的函数解析式 3 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 脚手架 ABCD 使 A D 点在抛物线上 B C 点在地面 OM 上 为了筹备材料 需求出 脚手架 三根木杆 AB AD DC 的长度之和的最大值是多少 请你帮施工 队计算一下 第 7 页 共 8 页 36 2009 年天津市 已知函数 为方程 的两个根 点 在21yxbxc 120y 1MT 函数 的图象上 2y 若 求函数 的解析式 132 2y 在 的条件下 若函数 与 的图象的两个交点为 当 的面积为 时 求 的值 1 AB 12t 若 当 时 试确定 三者之间的大小关系 并说明理由 01 0t T 37 已知点 A 0 3 B 2 1 C 2 1 P t t2 为抛物线 y x 2上位于三角形 ABC 内 包括边界 的一动点 BP 所在的直线交 AC 于 E CP 所在的直线交 AB 于 F 将 表示为自变量 t 的函数 BCE 38 在直角坐标系 xOy 中 一次函数 的图象与 轴 轴的正半轴分别交于 A B 两点 bkxy 0 xy 且使得 OAB 的面积值等于 3OAB 1 用 b 表示 k 2 求 OAB 面积的最小值 39 已知点 A B 的坐标分别为 1 0 2 0 若二次函数 23yxa 的图象与线段 AB 恰有一 个交点 则 a的取值范围是 40 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 214yx 上的一个动点 1 判断以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线 y 的位置关系 第 8 页 共 8 页 2 设直线 PM 与抛物线 214yx 的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 PNMQ