2016.9.20-初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

第二章 二次函数 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2yaxbc a 0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而 可以为零 二次函数bc 的定义域是全体实数 2 二次函数 的结构特征 2yaxbc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 bc bc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2yaxc 上加下减 3 的性质 2yaxh 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0 轴y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大xx 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0c 轴y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 c 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大x0 x 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0 4 的性质 2yaxhk 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2yaxhk hk 保持抛物线 的形状不变 将其顶点平移到 处 具体平移方法如下 2yax h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 四 二次函数 与 的比较 2yaxk 2yaxbc 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得h 到前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 六 二次函数 的性质2 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2bxa 24bac 0 向下 0h X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最大 y 值 0 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 k 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大yxxh 值 当 时 随 的增大而减小 2bxa yx 当 时 随 的增大而增大 当 时 有最小值 2bxa y 24acb 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当 时 0 2bxa 24bac 2bxa 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 有最大值 yx2bxa y2x y4c 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2yaxbc bc0a 2 顶点式 为常数 hk ahk 3 两根式 交点式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12 yx 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数x40bc 解析式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0 aa 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴 ab 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 20axbc 2yabc 0y 图象与 轴的交点个数 当 时 图象与 轴交于两点 其中的 是一元24 x 120AxB 12 x 12x 二次方程 的两根 0axbca 当 时 图象与 轴只有一个交点 0 当 时 图象与 轴没有交点 当 时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 a xx0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 0 2 抛物线 的图象与 轴一定相交 交点坐标为 2yaxbc y 0 c 二次函数对应练习试题 一 选择题 1 二次函数 的顶点坐标是 247yx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线 向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 A B C D 2 yx 2 yx 21yx 21yx 3 函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 k 0k 4 已知二次函数 的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 2 0 yaxbc 当 和 时 函数值相等 当 时 的值只能取 0 其中正1x34a 2y x 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由2 0 yaxbc 图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 2x 12 3x 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数 的图象如图所示 则点 在 2yaxbc acb A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程 的正根的个数为 2x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与 轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2yx 2yx C 或 D 或2yx 2yx 二 填空题 9 二次函数 的对称轴是 则 23yxb 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值 随自变量 的增大而yx 增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线 的顶点为 C 已知直线 过点 C 则这条直线与两坐标轴所围2 6yx 3ykx 成的三角形面积为 13 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 22412bc 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米 的地方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与 轴的交点为 0 30 x y52 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 随 x 的增大而增大 y 第 15 题图 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 0 t 2 其201hvtg 中重力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 17 如图 抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交2yxbc 3yx 点 A B 此抛物线与 轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 PAPS D 的坐标 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物 售 出 后 再 进 行 结 算 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 月 销 售 量 为 45 吨 该建材店为提高经 营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就 会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨 材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 二次函数应用题训练 1 心理学家发现 学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x 分 之间满足函数关系 y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 1 当 x 在什么范围内时 学生的接受能力逐步增强 当 x 在什么范围内 时 学生的接受能力逐步减弱 2 第 10 分钟时 学生的接受能力是多少 3 第几分钟时 学生的接受能力最强 2 如图 已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 其中 AB AC 20cm BC 24cm 若在 ABC 上截出一矩形零件 DEFG 使 EF 在 BC 上 点 D G 分别在边 AB AC 上 问矩形 DEFG 的最大面积是多少 FEB GD C A 3 如图 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 12cm 点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 如果 P Q 同时出发 问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 最大面积是多少 B Q C PA 4 如图 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行 的水平距离为 2 5 米时 达到最大高度 3 5 米 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面 的距离为 3 05 米 1 建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的表达式 2 该运动员身高 1 8 米 在这次跳投中 球在头顶上方 0 25 米处出手 问 球出手时 他跳离地面的高度是多少 4 m 0 3 5 3 05 mx y O 5 如图 要建一个长方形养鸡场 鸡场的一边靠墙 如果用 50 m 长的篱笆围成中 间有一道篱笆隔墙的养鸡场 设它的长度为 x m 1 要使鸡场面积最大 鸡场的长度应为多少 m 2 如果中间有 n n 是大于 1 的整数 道篱笆隔墙 要使鸡场面积最大 鸡场的长应为多少 m 比较 1 2 的结果 你能得到什么结论 x 6 某商场以每件 20 元的价格购进一种商品 试销中发现 这种商品每天的销售量 m 件 与 每件的销售价 x 元 满足关系 m 140 2x 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 2 如果商场要想每天获得最大的销售利润 每件商品的售价定为多少最合适 最大 销售利润为多少 二次函数对应练习试题参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 9 10 3 11 如b x 等 答案不唯一 24 yy 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 由2bxcya 题意可得 解得 所以15 3 22abc yx 2 或 5 2 1 3x 16 1 由已知得 解21520tt 得 当 时不合题意 舍去 所以23 tt 当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 2 由题意得 可知顶点的250ht 2 0t 横坐标 又抛物线开口向下 所以在爆竹 点燃后的 1 5 秒至 108 秒这段时间内 爆竹在 上升 17 1 直线 与坐标轴的交点3yx A 3 0 B 0 3 则 解得903bc 2b 所以此抛物线解析式 为 2 抛物线的顶点23yx D 1 4 与 轴的另一个交点 C 1 0 设 P 则2 a 化简得3 4 5 2 25 当 0 时 得a23a P 4 5 或 P 2 5 当 0 时 即23 此方程无解 综上所述 满足a 条件的点的坐标为 4 5 或 2 5 18 1 60 吨 2 5 710246 3265bac 化简得 260 1 457 5 xyx 3 2340154 xy 2 10 975x 红星经销店要获得最大月利润 材料的售 价应定为每吨 210 元 4 我认为 小静说的不对 理由 方 法一 当月利润最大时 x 为 210 元 而对于月 销售额 5 710265 xxW 来说 23 94 当 x 为 160 元时 月销售额 W 最大 当 x 为 210 元时 月销售额 W 不是最大 小静说 的不对 方法二 当月利润最大时 x 为 210 元 此 时 月销售额为 17325 元 而当 x 为 200 元时 月销售额为 18000 元 17325 18000 当 月利润最大时 月销售额 W 不是最大 小静 说的不对 二次函数应用题训练参考答案 1 1 0 x 13 13 x 30 2 59 3 13 2 过 A 作 AM BC 于 M 交 DG 于 N 则 AM 16cm 201 设 DE xcm S 矩形 ycm 2 则由 ADG ABC 故 即 故ANDGMBC 614x DG 16 x 32 y DG DE 16 x x x2 16x 3 x 8 2 96 3 从而当 x 8 时 y 有最大值 96 即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2 3 设第 t 秒时 PBQ 的面积为 ycm2 则 AP tcm PB 6 t cm 又 BQ 2t y PB BQ 6 t 2t 6 t 121 t t2 6t t 3 2 9 当 t 3 时 y 有最大值 9 故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大 最大值 是 9cm2 4 解 1 设抛物线的表达式为 y ax2 bx c 由图知图象过以下点 0 3 5 1 5 3 05 53 02 5 1 0 3 2cbaacb得 抛物线的表达式为 y 0 2x 2 3 5 2 设球出手时 他跳离地面的高度为 h m 则球出手时 球的高度为 h 1 8 0 25 h 2 05 m h 2 05 0 2 2 5 2 3 5 h 0 2 m 5 解 1 依题意得 鸡场面积 y 35012x y x2 x x2 50 x 3 x 25 2 16 当 x 25 时 y 最大 35 即鸡场的长度为 25 m 时 其面积最 大为 m2 365 2 如中间有几道隔墙 则隔墙长为 m nx 50 y x x2 xn150 x2 50 x x 25 2 1n6 当 x 25 时 y 最大 即鸡场的长度为 25 m 时 鸡场面积 为 m2 n65 结论 无论鸡场中间有多少道篱笆隔 墙 要使鸡场面积最大 其长都是 25 m 6 解 1 y 2x 2 180 x 2800 2 y 2x 2 180 x 2800 2 x 2 90 x 2800 2 x 45 2 1250 当 x 45 时 1250 最 大 每件商品售价定为 45 元最合适 此销售利润最大 为 1250 元