2015北大自主招生数学试题

2015 北大自主招生数学试题 第 1 页 共 5 页 一 选择题 1 整数 x y z 满足 xy yz zx 1 则 1 1 1 可能取到的值为 2xy2z A 16900 B 17900 C 18900 D 前三个答案都不对 2 在不超过 99 的正整数中选出 50 个不同的正整数 已知这 50 个数中任两个的和都不等于 99 也不等于 100 这 50 个数的和可能等于 A 3524 B 3624 C 3724 D 前三个答案都不对 3 已知 x 0 对任意实数 a 函数 y 2acosx 1 的最小值记为 g a 则当 a 取遍所有实数时 2 2cos g a 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 前三个答案都不对 4 已知 是 的整数倍 则正整数 n 的最大值为 0n A 21 B 22 C 23 D 前三个答案都不对 5 在凸四边形 ABCD 中 BC 4 ADC 60 BAD 90 四边形 ABCD 的面积等于 则 CD 的长 精确到小数点后 1 位 为 2D A 6 9 B 7 1 C 7 3 D 前三个答案都不对 二 填空题 6 满足等式 的整数 x 的个数是 12015 x 7 已知 a b c d 2 4 则 的最大值与最小值的和为 22 abcd 8 对于任意实数 x 1 5 px q 2 不超过 的最大整数是 2pq 9 设 x y z 且 x y z 1 则 的值为 22bca 2cb 2ac 20152015xyz 10 设 都是 9 元集合 1 2 3 9 的子集 已知 为奇数 1 i n 为偶数 12 nA AijA 1 i j n 则 n 的最大值为 三 解答题 11 已知数列 为正项等比数列 且 5 求 的最小值na3412a 56a 12 已知 f x 为二次函数 且 a f a f f a f f f a 成正项等比数列 求证 f a a 13 称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形 若锐角 ABC 的三边满足 a b c 求证 这个三角形内接正方形边长的最小值为 sincB 14 从 O 出发的两条射线 已知直线 交 于 A B 两点 且 c c 为定值 记 AB 的中点为12 ll12 AOBS X 求证 X 的轨迹为双曲线 15 已知 i 1 2 3 10 满足 30 21 求证 使得 0 时 无解1 x 1 x x 12015 x x0 则 na12a q 56a124q21 20t 设 5 t 2 5 2 20 等号成立当且仅当 t t 1 q 故 的最小值 25 1 t tt t 56a 为 20 12 方法一 设 f x m nx t m 0 a f a f f a f f f a 公比为 q q 0 2x 2015 北大自主招生数学试题 第 4 页 共 5 页 则 2223 famntaqfntaqf 并化简得到 ma 1 n 1 q q 1 q 并化简得到 maq 1 n 1 q q 1 q 2q 2q 从而 q 1 f a a 方法二 由已知 假设 f a a fa f 则 A a f a B f a f f a C f f a f f f a faf ff A B C 三点共线 一条直线与抛物线交于三个点 矛盾ABkC 故 f a a 13 证明 设正方形的边长为 x ABC 外接圆半径为 R 当内接正方形如图所示时c csinBaxxQ PNM CB A 1sincx 1sincB 2bacRc 同理其他情况 内接正方形的边长分别为 2xbac3x2bcRa 0 1x2abcR 2ac Rc 1x2 同理 1 于是 最小 从而这个三角形内接正方形边长的最小值为x sinacB 14 证明 设 2 为 的夹角 以 O 为原点 的角平分线为 x 轴 建立直角坐标系 如图12 l 12 l 2015 北大自主招生数学试题 第 5 页 共 5 页 x y ba B A l2 l1 O X 设 X x y OA a OB b 则 A acos asin B bcos bsin 于是 ab cosin2bxy 2xy 因 absin2 c 于是 ab X 的轨迹方程为 轨迹是双曲线AOBS 1sin2c 2xy sinc 15 反证法 假设 1 设 1 0 30 20i iiib1210 a 1210 b 1 21 与 21 矛盾120 20 b 120 3ba 故 使得 1ia i