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习题一（A）1.设，求.解 ；.2. 设表示某大学学习英语的学生的集合，表示学习日语的学生集合，则各表示怎样的集合.解 表示该大学不学习英语的大学生集合；表示该大学不学习日语的大学生集合；表示该大学学习英语但不学习日语的大学生集合；表示该大学既不学习英语又不学习日语的大学生集合；表示该大学不学习英语或不学日语的大学生集合.3. 求下列函数的定义域.（1）； （2）（3） （4）（5） （6）解 （1）； （2） ；（3） 即； （4）且；（5） 即；（6） 即.4.设的定义域，求下列函数的定义域：（1）； （2）（3）.解 （1），即. （2），即； （3）且.所以当时，定义域为；当时，定义域为空集.5. 下列函数和是否相同？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）.解 (1) 两个函数不同,因为对应法则或表达式不同.(2)两个函数相同,因为定义域和对应法则都相同.(3)两个函数不同,因为它们的定义域不同.(4)这对函数是相同的。因为它们的定义域相同且对应法则相同.6. 已知，求.解 ； ； .7. 设 证明是奇函数.解 .即是奇函数.8. 将函数写成分段函数形式，并作出函数的图形.解 .函数图形如图所示.9. 试证明下列函数在指定区间内的单调性：（1）； （2）解 （1）,在上单调递增；（2）在上单调递增.10. 设为定义域在内的奇函数，若在内单调增加，证明在内也单调增加.证明: 设,且,则,且.在上单增且为奇, ,即,从而,所以在上也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在区间内的，证明：(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 只证明偶函数与奇函数的乘积是奇函数,其它略. 设与分别是区间上的偶函数和奇函数,即,则,所以是奇函数,也就是说, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 试证明：任何一个在内有定义的函数总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.证明 令，则当时,即为偶函数，为奇函数，易见,所以,任何一个在内有定义的函数总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.13. 求下列函数的反函数，并注明反函数的定义域：(1) ； (2) ； (3) ； （4）.解 （1）；(3) .14. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值的函数值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解 （1）；(2) ；(3) ；(4) .15. 用铁皮作一个容器为圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并确定此函数的定义域.解 设其全表面面积为A，底半径为r,高为h，则，并且，从而，所以，.16. 已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角（图1-11）.当过水断面的面积为定值时，求湿周与水深之间的函数关系，并指明其定义域.图1-11解 由图易得 ,.17.设需求函数与供给函数分别为： ，求市场均衡点.解 令即，解得，市场均衡点为.18. 某企业生产某产品每日最多生产100单位，设日固定成本130元，生产一个单位产品的可变成本为6元，求该企业日总成本函数及平均单位成本函数.解 ，.19. 设销售某商品的总收益是销售量的二次函数，已知时，总收益分别是，试确定总收益函数.解 设，则有 解得 .20. 已知需求函数为，总成本函数为,分别为价格与销售量.试求利润与销售量的关系式，并求平均利润.解 ,.习题二（A）1.观察下列数列的变化趋势，收敛的写出其极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） 解 （1）收敛，极限为1；（2）不收敛；（3）不收敛；（4）收敛，极限为0；（5）收敛，极限为2 ；（6）不收敛。 2.判断下列命题是否正确：（1）收敛数列一定有界；（2）有界数列一定收敛；（3）若收敛数列的通项大于0，则其极限一定大于0；（4）若数列的极限大于0，则数列的每一项也一定大于0 解 仅（1）是正确的。 设 ，考察，求出，使得当时，有.当时，=？解 ，要使，因为，所以，只需，取，则当时，就有成立.当时，. 用数列极限的分析定义证明：（1）； （2）；（3）； （4）. 证明 （1），要使，因为，所以，只需，取，则当时，就有成立.即. （2），要使， ，所以，只需，取. （3），要使，即，取. （4），要使， 即，取.5.利用函数的图形，从几何上观察变化趋势，并写出下列极限：（1） ； （2）是常数）；（3）； （4）；（5） ； （6）.解（1）0；（2）C；（3）；（4）1；（5）3；（6）3. （图略）6. 在处有定义是当时极限存在的_(A) 必要条件 (B)充分条件(C) 充分必要条件 (D)无关条件解 （D） 7. 与都存在是当时极限存在的_(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件解 (A) 8. 若 ，则=（ ）(A) (B) (C) (D) 解 (A)9. 在处有定义是在处连续的_(A) 必要条件 (B)充分条件(C) 充分必要条件 (D)无关条件 解 (A) .用极限的分析定义证明下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）. 解 (1) ，要使，取，则当时，总有成立。即。 （2），要使，只需取. （3），要使，只需，取，当时，有，.（4）（无论多大），要使，只需，取，则当时，总有，.11.设 问：（1）在自变量的什么变化过程中，是无穷小？（2）在自变量的什么变化过程中，是无穷大？解（1）当时，是无穷小； （2）当时，是无穷大.12.求下列极限：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ；(7) ; (8) ;(9) ; (10) ；(11) ; (12) . 解（1）0；（2）0；（3）；（4）-3；（5）（提示：通分化简）； （6）2；（7）（提示：利用立方公式）；（8）；（9）-1；（10）（提示：先求和，再求极限）；（11）；（12）；（提示：求其倒数的极限）.13.判断下列命题是否正确？如果正确说明理由，如果错误试给出一个反例（1）如果存在，但不存在，那么不存在； （2）如果不存在，且也不存在，那么不存在； （3）如果存在，且也不存在，那么不存在解（1）正确. （反证法，利用极限四则运算法则） （2）错误. 反例： 时，极限均不存在，但极限存在. （3）错误.反例：时，极限存在为零，极限不存在，但极限存在为零.14.求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； (10) .解（1）；（2）1（提示：，或令）；（3）；（4）；（5）1；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。15.利用极限存在准则证明：（1）(2) .解（1）提示：。 （2）。16.设 ，证明这数列的极限存在，并求其极限证明 （单调性），设，则，因此单调递增.（有界性），设，则，有上界.故存在.设，对两边取极限得 ，即舍去）.即.17. 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1）； （2）解 （1）连续；（2）在处间断，图形略.18.求下列函数的间断点，并判别间断点的类型（1）； （2）;(3) ; (4) ;(5) 解（1）间断点：，其中是可去间断点，是无穷间断点； （2），可去间断点； （3），其中是可去间断点，其他是无穷间断点; （4），跳跃间断点； （5），间断点：是跳跃间断点.19.求下列极限：（1）； （2）;(3) ; (4) .解（1）1；（2）；（3）；（4）（提示：利用平方差公式化简）.20. 设函数常数为何值时，使得解 要使，只需在处连续，得.21证明方程 在内至少有一个实根证明 令，则在连续，且，由零点定理得证.22. 设多项式证明：当为奇数时，方程至少有一个实根证明 ，当n为奇数时，由零点定理得证.23. 如果存在直线，使得当（或，）时，曲线上的动点到直线的距离,则称为曲线的渐近线，当时，称为斜渐近线（1）证明：直线为曲线的斜渐近线的充分必要条件为， （2）求曲线的斜渐近线证明（1），即. （2），因此曲线的斜渐近线为.习题三(A) 1.求自由落体 在时的速度.解 2.下列各题中均假设存在，按导数定义考察下列极限，指出A表示什么？ （1）； （2）； （3）.解 (1) A表示 ；（2）A表示 ；（3）A表示 3. 设，则在处（ ） （A）左、右导数都存在； （B）可导； （C）左导数存在，右导数不存在； （D）左导数不存在，右导数存在.解 C 4.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3） .解 （1）；（2）；（3） 5.求曲线上切线斜率等于的点的坐标.解 ，. 6.求过点（2,0）且与相切的直线方程.解 设切点坐标为，则直线方程为，又，令得故所求直线方程为 7.讨论函数 在处的连续性、可导性. 解 函数在处连续且可导（） 8.设函数， 问为何值时，可使在处连续且可导.解 9.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 解（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）. 10.设，求. 解（提示：分段函数求导函数时，分界点处的导数一般要用导数定义来求） 当时，； 当时，； 当时，综合得 11.设，其中为可导函数，则=_.解 . 12.设由方程确定.则=_.解 13.求双曲线在点处的切线方程及法线方程.解 切线方程为：；法线方程为：14.设，求及.解 15.设，求. 解法1：； 解法2：两端取对数，得，两端对x求导：，即 16.求方程确定的隐函数的二阶导数.解 两端对x求导数：，； 17.填空 （1）; (2) ; （3）； （4）； （5）； （6）. 解（1）+c；（2）+c；（3）+c；(4) +c；(5) +c；（6）+c 18.选择 （1）设在的某邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（ ）存在. （A）； （B）； （C）； （D）. （2）设，则使存在的最高阶数为（ ） （A）0 ； （B）1 ； （C）2 ； （D）3 （3）若曲线和在点（1，-1）处相切，则( ) (A) ; (B) ;(C) ; (D) . 解（1）D; (2) C(提示：) ; （3）D 19.设，其中存在，求. 解 ； =. 20.设，其中具有三阶导数，且，求.解 . 21.求下列函数的阶导数的一般表达式. （1）； （2）； 解（1）；（2） 22.求. 解 （提示：）. 习题四（A）1. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的是（ ）A B. C. D. .答案 C 2. 函数在区间上满足拉格朗日中值定理的=（ ）A. B. 0 C. 3 D. 1答案 C 3. 验证函数，在区间上满足柯西中值定理的条件答案 略。4.利用拉格朗日中值定理证明不等式（1）；（2）提示（1） 令在上满足拉格朗日定理的条件。（2） 令若时，显然成立；若时，在或上满足拉格朗日定理的条件。5.不用求出函数的导数，判断方程有几个实根，并指出这些根所在的区间提示 在和上满足罗尔定理的条件。6. 计算下列极限（1） （2）；（3） （4）；（5） （6）；（7） （8） ；（9）； （10）；（11） （12）； （13） （14）答案（1）；（2）1；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0; (9) ; (10) (提示：先通分再利用洛必达法则计算)；（11）1；（12）1（提示：）；（13）1；（14）1.7. 已知，求答案 （提示：接连使用两次洛必达法则求解）8. 写出函数在处的带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式答案 。9. 按的幂展开多项式答案 。10. 求下列函数的单调区间（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）答案（1）在单调减少；在单调增加。（2）在单调减少；在单调增加。（3）在单调增加；在单调减少；在单调增加。（4）在单调增加；在单调减少；在单调减少；在单调增加。（5）在单调增加。11. 证明下列不等式（1）时，； （2）时，；（3）； （4）答案 （1）略；（2）提示：要证，即证，令，当时，单调增加；（3）略；（4）略。12. 证明方程只有一个实根提示 令，则在单调减少，又根据零点定理在至少有一个实根，故方程在内只有一个实根。13. 求下列函数图形的凹凸区间和拐点（1）； （2）；（3）； （4）答案 （1）曲线在是凹的，在是凸的，在是凹的，拐点为、；（2）曲线在是凸的，在是凹的，在是凸的，拐点为、；（3）曲线在是凸的，在是凹的，拐点为；（4）曲线在是凸的，在是凹的，拐点为.14. 求下列函数的极值（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）答案（1）极大值为，极小值为；（2）极大值为，极小值为；（3）无极大、极小值；（4）极大值为，极小值为；（5）极大值为；（6）极小值为。15. 为何值时，点是曲线的拐点，且是函数的驻点答案 。16. 求下列函数在指定区间上的最大最小值（1）；（2）；（3）答案 （1）最大值为11，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.17. 求函数在何处取得最小值答案 在有最小值27.18描绘函数的图形答案 略。19. 受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足,且当时，问：（1）的表达式和投入的取值范围；（2）求投入为何值时，旅游增加值取得最大值，最大值是多少？答案（1）；（2）在时取得最大值约为10.62.20. 一公司已估算出某产品的成本函数为，问产量多大时，平均成本能达到最低，并求出最低平均值成本答案 当产量时，平均成本最小值为21. 某产品每批生产台的成本为（万元），销售台得到的收入为，问每批生产多少台，能获得最大利润？答案 每批生产250台时，能获得最大利润。22. 某产品的成本函数为,需求函数为,其中P为该商品的单价，问单价定为多少时，使利润取得最大值？（单位：元）答案 当单价定位6.5元时，取得最大利润（提示：收入,利润函数）23. 一电器制造商以每台450元的价格出售收录机，每周可售出1000台，当价格每降低10元时，每周可多售出100台，（1）求价格函数；（2）为达到最大收益，每台收录机应降价多少？（3）假如周成本函数为，问应降价多少时，可获得最大利润？答案 (1) 价格函数；（2）降价175元时，取得最大收益（提示：收益，时，R取得最大值，则（元）；（3）降价100元时，取得最大利润（提示：利润，时，L取得最大值，则（元）。24. 某大型超市通过调查得知，某种毛巾的销量Q与其成本C的关系为：（元)，现每条毛巾定价为6元，求使利润最大的销量 答案 当销量Q=2000（条）时，利润取得最大值.（提示：利润函数）25. 体育用品商店每年销售100张台球桌库存一张台球桌一年的费用为20元，若订购，需付40元固定成本，以及每张台球桌另加16元，为了使总成本（存货成本和订购成本之和）最小，商店每年应该订购几次台球桌？每次订购数量（即批量）为多少？解 设每次订购数量(即批量)为,则一年应订购次台球桌.由题意知总成本为令,可得.所以,每年订货5次，批量为20台.习题五（A）1. 求下列不定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11)； (12).解 (1)； (2)； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2. 一曲线通过点（9,4），且在任一点处的切线的斜率为.求该曲线的方程.解 设该曲线方程为,则,所以,将代入得 .3. 一物体由静止开始运动，经后的速度是，问（1）在4后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完250需要多少时间？ 解 （1）16m；（2）10s。4. 验证都是的原函数.5. 求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）；（21）； （22）；（23）； （24）；（25）.解 （1）；（2）；（3）；（4）；(5)；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）;(15); (16);(17);(18);(19); (20);(21);(22)； (23); (24)法一:.法二:;（25）.6. 求下列不定积分：（1） （）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.解 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）;（6）；（7）；（8）；（9）.（10）.7. 求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）. 解 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）；（10）； (11)；（12)；（13）；（14）；（15）.8. 求下列不定积分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解 （1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）.9. 建立的递推公式.解 由分步积分法可得 ,同理 ，.所以 .习题六（A）1. 利用定积分的几何意义，求下列积分：（1）； （2）； （3）.解 （1）原积分相当于求半径为的半球面积,所以；（2）原积分相当于求直角边为的等腰直角三角形的面积,所以； （3）被积函数为奇函数而积分区间为对称区间,所以.2. 利用定积分的估值公式，估计下列定积分的值：（1） ； （2）.解 （1）易知,所以 ； （2）当时,所以 .3. 求下列各导数：（1）设，求；（2）设由下式所确定，求；（3）设，求.（4）设，求.解 （1）； （2）对式子两边关于求导 ,整理得 ； （3）因为,所以 .（4）对式子两边关于求导得 .4. 求下列各极限：（1）； （2）.解 分别利用洛必达法则得（1）； （2）. 5. 设 求在内的表达式. 解 6. 设为连续函数，求.解 所以.7. 计算下列定积分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）设 计算. 解 （1）； （2）； （3）； （4）由于原积分是奇函数在对称区间上的积分所以为0； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）.8. 计算下列定积分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）.解 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）.9. 利用奇偶性计算下列定积分：（1）； （2）.解 （1）因为被积函数为奇函数,所以该积分值为0； （2）.10. 证明下列各式成立：（1）；（2）；（3），其中在所讨论的区间上连续； （4）.证明 （1）； （2）； （3）； (4).11. 判断下列反常积分的敛散性.如果收敛，计算反常积分的值.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）.解 （1）该广义积分收敛 ； （2）,所以该广义积分发散； （3）,即该广义积分收敛； （4）,即该广义积分收敛；（5）,所以该广义积分发散； （6）,即该广义积分收敛； （7）,即该广义积分收敛； （8）,即该广义积分收敛；（9）,即该广义积分收敛.12. 求使下列每个反常积分收敛的值：（1）； （2）.解 （1）因为，所以使该积分收敛的值为； （2）因为，所以使该积分收敛的值为.13. 可能不等于.指出发散，从而发散；然后指出. 解 ，所以发散，从而 发散；又根据奇函数在对称区间上的积分为零，可得.14. 求由下列各曲线所围成的平面图形的面积：（1）与；（2），与；（3），与；（4），轴与直线，（）.解 （1）；（2）； （3）； （4）.15. 求由摆线的一拱（）与轴所围成的图形的面积.解 .16. 求由双纽线 所围成的平面图形的面积. 解 由对称性可得.17. 求由心形线所围成的平面图形的面积.解 由对称性可得.18. 求下列各题中给出的平面图形，绕指定的坐标轴旋转所产生的旋转体的体积.（1）顶点为（1,0），（2,1），（1,1）的三角形，绕轴，轴；（2），和轴所围图形，绕轴；（3）（），轴与轴所围图形，绕轴；（4），轴，轴与所围图形，绕轴.解 （1）若绕轴旋转，则；绕轴旋转则; （2）绕轴旋转所得立体的体积为； （3）所围图形绕轴旋转所得立体体积； （4）所围图形绕轴旋转所得立体的体积为.19. 证明：由平面图形，绕轴旋转所成的旋转体体积为.证明 如图，按照微元法，旋转体体积的微元为,所以所求旋转体积为. 20. 一个立体位于在和处垂直于轴的两个平面之间，在这两个平面之间并垂直于轴的横截面为底边在平面上的正方形，且该底边从半圆跑到半圆.求此立体的体积.解 该立体体积为.21. 求曲线上相应于的一段弧的长度. 解 该弧长为.22. 计算星形线，的全长.解 星型线全长为.23. 求阿基米德螺线（）相应于一段的弧长.解 弧长为.
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