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习题十二1写出下列级数的一般项：(1)；(2)；(3)；解：(1)；(2)；(3)；2求下列级数的和：(1)；(2) ；(3)；解：(1)从而因此，故级数的和为(2)因为从而所以，即级数的和为(3)因为从而，即级数的和为3判定下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；解：(1) 从而，故级数发散(2) 从而，故原级数收敛，其和为(3)此级数为的等比级数，且|q|0，取，则当nN时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛(2)对于任意自然数P，都有于是， 0(0N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛(3)取P=n，则从而取，则对任意的nN，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散5用比较审敛法判别下列级数的敛散性(1)；(2)(3)；(4) ；(5)；(6) 解：(1) 而收敛，由比较审敛法知收敛(2)而发散，由比较审敛法知，原级数发散(3)而收敛，故也收敛(4)而收敛，故收敛(5)当a1时，而收敛，故也收敛当a=1时，级数发散当0a1时，原级数收敛，当0a1时，原级数发散(6)由知而发散，由比较审敛法知发散6用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ；(2)；(3)；(1) 解：(1) ，由比值审敛法知，级数收敛(2) 所以原级数发散(3) 所以原级数发散(4) 故原级数收敛7用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，其中ana（n），an，b，a均为正数解：(1)，故原级数发散(2) ，故原级数收敛(3)，故原级数收敛(4) ，当ba时，a时，1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性8判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6) 解：(1)，级数是交错级数，且满足，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P1时，由级数收敛得原级数绝对收敛当01时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛当0时，所以原级数发散(6)由于而发散，由此较审敛法知级数发散记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛9判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性(1) ，x-3,3；(2) ，x0,1；(3) ，x(-,+)；(4) ，|x|0，N()0，使得当nN时，x有|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|0，N()0，使得当nN时，x有|Un+1(x)+Un+2(x)+Un+p(x)|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x) |Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|，因此，级数在区间上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知在上一致收敛11求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x+2x2+3x3+nxn+；(2)；(3)；(4)；解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为(-1,1)(2)因为所以收敛半径，收敛区间为(-e,e)当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)(3)级数缺少偶次幂项根据比值审敛法求收敛半径所以当x21即|x|1即|x|1时，级数发散，故收敛半径R=1当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)(4)令t=x-1，则级数变为，因为所以收敛半径为R=1收敛区间为 -1x-11 即0x2.当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛所以，原级数收敛域为 0x2，即0,212利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)；(2) ；解：(1)由知，当|x|=1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)记 易知的收敛域为(-1,1)，记则于是，所以(2)由知，原级数当|x|1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记，易知级数收敛域为(-1,1)，记，则，故即，所以13将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f(x)=ln(2+x)；(2)f(x)=cos2x；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(4)；(5)；(6)；(7)f(x)=excosx； (8)解：(1)由于，(-1x1)故，(-2x2)因此，(-2x2)(2)由，(-x+)得所以，(-x+)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由，(-1x1)所以 (-1x1)(4)由于(-1x1)故(-1x1)(5)(6)由，x(-,+)得，x(-,+)所以(7)因为为的实部，而取上式的实部得(-x+)(8)由于|x|1而，所以(|x|2)14将展开成(x+4)的幂级数解：而又所以15将函数展开成(x-1)的幂级数解：因为所以(-1x-10，使|n2Un|M，即n2|Un|M，|Un|而收敛，故绝对收敛20证明，若收敛，则绝对收敛证：而由收敛，收敛，知收敛，故收敛，因而绝对收敛21若级数与都绝对收敛，则函数项级数在R上一致收敛证：Un(x)=ancosnx+bnsinnx，xR有由于与都绝对收敛，故级数收敛由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数在R上一致收敛22计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) ；(2) ；(3) 解：(1)，又当时，级数变为，因为所以当，级数发散，故原级数的收敛半径，收敛域(-,)(2) 故，又所以当(x+1)=2时，级数发散，从而原级数的收敛域为-2x+12，即-3x1，即(-3,1)(3) ，收敛区间-2x-12，即-1x2时，有由知级数收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在(2,+)上一致收敛(3)xR有而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在(-,+)上一致收敛25求下列级数的和函数：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1记则S1(0)=0,所以即S1(x)=arctanx，所以S(x)=xarctanx，x-1,1(2)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，原级数发散记则，即，S(0)=0所以，(|x|1)(3)由知收敛域为(-,+)记则，所以，(-x+)(4)由知收敛半径R=1，当x=1时，级数变为，由知级数收敛，当x=-1时，级数变为是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1记则S(0)=0， （x1）所以即即当x0时，又当x=1时，可求得S(1)=1（）综上所述26设f(x)是周期为2的周期函数，它在(-,上的表达式为试问f(x)的傅里叶级数在x=-处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-是它的间断点，在x=-处，f(x)的傅里叶级数收敛于27写出函数的傅里叶级数的和函数解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x)，在间断点x=0，x=处，分别收敛于，综上所述和函数28写出下列以2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在-,)上的表达式为：(1)(2)；(3)(4).解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=n，nz是其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于，在xn，有于是f(x)的傅里叶级数展开式为(xn)(2)函数f(x)在(-,+)上连续，故其傅里叶级数在(-,+)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是，(n=1,2,)所以，f(x)的傅里叶级数展开式为： (-x)(3)函数在x=(2n+1)(nz)处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x(2n+1)时，由f(x)为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,）所以(x(2n+1),nz)(4)因为作为以2为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,)，所以f(x)的傅里叶级数展开式为：x-,29.将下列函数f(x)展开为傅里叶级数：(1)(2)解：(1) 故(-x)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在0,2上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0,所以 (0x2)30.设f(x)=x+1(0x)，试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级数.解：将f(x)作奇延拓，则有an=0 (n=0,1,2,)从而(0x)若将f(x)作偶延拓，则有bn=0 (n=1,2,)从而(0x)31.将f(x)=2+|x| (-1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.解：f(x)在(-,+)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,)所以，x-1,1取x=0得，故所以32.将函数f(x)=x-1(0x2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-,+)上连续,则有bn=0 (n=1,2,3,)故(0x2)33.设，-x+，其中，求.解：先对f(x)作偶延拓到-1,1，再以2为周期延拓到(-,+)将f(x)展开成余弦级数而得到 s(x)，延拓后f(x)在处间断，所以34.设函数f(x)=x2(0x1)，而，-x+，其中(n=1,2,3,)，求.解：先对f(x)作奇延拓到,-1,1，再以2为周期延拓到(-,+)，并将f(x)展开成正弦级数得到s(x)，延拓后f(x)在处连续，故.35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f(x)=1-x2 ；(2)解：（1） f(x)在(-,+)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f(x)，由于f(x)为偶函数，有bn=0 (n=1,2,3,)，所以 (-x+)(2) ，而函数f(x)在x=3(2k+1)，k=0,1,2,处间断，故(x3(2k+1)，k=0,1,2,)36.把宽为，高为h ，周期为T的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为(-t+，且，)37.设f(x)是周期为2的周期函数，它在-1,1上的表达式为f(x)=e-x，试将f(x)展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f(x)在x2k+1，k=0,1,2处连续.故f(x)的傅里叶级数的复数形式为 (x2k+1，k=0,1,2,)38.求矩形脉冲函数的傅氏变换解：39.求下列函数的傅里叶积分：(1)(2)解：(1)(2) 40.求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解：
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