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求动点的轨迹方程(例题,习题与答案)在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:求轨迹方程时,题目中没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等;求曲线的方程常用“待定系数法”。l 求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标(x, y)满足的关系式。1. 直接法(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:,动点M到圆C的切线长等与,求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线 解:设动点M(x,y),直线MN切圆C于N。依题意:,即而,所以(x-2)+y=x+y-1化简得:x=。动点M 的轨迹是一条直线。2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数,进一步写出轨迹方程。例题:动圆M过定点P(4,0),且与圆C:相切,求动圆圆心M的轨迹方程。解:设M(x,y),动圆的半径为r。若圆M与圆C相外切,则有 MC=r4若圆M与圆C相内切,则有 MC=r-4而MP=r, 所以MC-MP=4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。动点的轨迹方程为:3. 相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x,y)的变动而变动,且x、y可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。解:设M(x,y), A(),依题意有:x=, y=则:x=2x-4, y=2y-3, 因为点A()在圆上,所以点M的轨迹方程为:动点M的轨迹为以(2,)为圆心,1为半径的圆。4. 参数法例题:已知定点A(-3,0),M、N分别为x轴、y轴上的动点(M、N不重合),且,点P在直线MN上,。求动点P的轨迹C的方程。解:设N(0,t), P(x,y)直线AN的斜率,因为,所以直线MN的斜率直线MN的方程为y-t=,令y=0 得x=,所以点M(,0), 由, 得x=), y-t=,则所以动点P的轨迹方程为:5. 交轨法例题:如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设。求直线与的交点的轨迹的方程。解:设,由已知得,则直线的方程为,直线的方程为,即y+2= y-2= - 两式相乘,消去即得的轨迹的方程为练习与答案1. 设圆C与圆x2+(y.3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为AA抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆2. 已知圆,圆,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。(x0)3. 过点A(4,0)作圆Ox+y2=4的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(x-2)+y=4 (0x1)4. 已知圆C:+(y-4)=1, 动点P是圆外一点,过P作圆C的切线,切点为M,且PM=PO(O为坐标原点)。求动点P的轨迹方程。提示:PO=PM=3x+4y-12=05. 已知圆,圆,动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。解:动点P 到圆C的最短距离为PC-1,动点P 到圆C的最短距离为PC-1,依题意有:PC-1=PC-1,即PC=PC所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为:2x+y-5=06. 已知双曲线的左、右顶点分别为, 点P(),Q()是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。解:由为双曲线的左右顶点知,两式相乘,因为点在双曲线上,所以,即,故,所以,即直线与交点的轨迹的方程为7. 已知曲线与直线交于两点和,且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为设点是上的任一点,且点与点和点均不重合若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程。解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,中点的轨迹方程为().8. 已知点C(1,0),点A、B是O:上任意两个不同的点,且满足,设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解:连结CP,由,知ACBC|CP|AP|BP|,由垂径定理知即 设点P(x,y),有化简,得到。9.设椭圆,过点的直线交椭圆于A、B,O为坐标原点,点P满足,当绕着M旋转时,求动点P的轨迹方程。解:直线过点,设其斜率为k,则直线的方程为,记,由题设可得点A、B的坐标是方程组的解,其方程组中消取得 点P的坐标为 即:点P为,设点P为,则P点的轨迹参数方程为 (为参数)消去参数得:当斜率不存在时,A、B的中为原点(0,0)也满足上述方程,故:动点P的轨迹方程为。10. 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。解:两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,由题意得或,可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则,所以轨迹L的方程为11. 如图所示,已知P(4,0)是圆内的一点。A、B是圆上两动点,且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解:设R(x,y),依题意,有OR+RA=36,而RA=RP,所以OR+RP=36, 即化简得:设Q(X, Y),因为R(x,y)是QP的中点,所以有x=,y=,故化简得:X12. 在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足MPO=AOP。当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程。解:如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,因此即另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。MQ为线段OP的垂直平分线,又因此M在轴上,此时,记M的坐标为为分析的变化范围,设为上任意点由 (即)得,故的轨迹方程为综合和得,点M轨迹E的方程为13. 点M是椭圆上的动点。如图,点的坐标为,是圆上的点,是点在轴上的射影,点满足条件:,=0,求线段的中点的轨迹方程;解:设 .因为,故 因为 所以 . 记P点的坐标为,因为P是BQ的中点,所以 由因为 ,结合,得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故动点P的轨迹方程为(x-。
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