全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1 11 全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全 一 截长补短法构造全等三角形 截长补短法 是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法 也是把几何题化难为易的一种思 想 所谓 截长 就是将三者中最长的那条线段一分为二 使其中的一条线段等于已知的两条较短线 段中的一条 然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等 所谓 补短 就是将一个已知的较短 的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有 的是采取截长补短后 使之构成某种特定的三角形进行求解 截长补短法作辅助线 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 典型例题精讲 例 1 如图 在 中 是 的平分线 且 求 的ABC 60 ADBC ACBD ABC 度数 D CB A 解析 法一 如图所示 延长 至 使 连接 ABED EC 由 知 ACBD C 而 则 为等边三角形 60 注意到 EA 故 从而有 E 故 2BDCDC 所以 20E 6028ABBE 法二 在 上取点 使得 则由题意可知 A D 在 和 中 E A 则 从而 B 进而有 DEC DC A 2 注意到 则 A 13180120BBABAC 故 80C 答案 见解析 2 11 E D CB A E D CB A 例 2 已知 中 分别平分 和 交于点 试判ABC 60 BDCABC CEO 断 的数量关系 并加以证明 ED DOE CB A 解析 BECD 理由是 在 上截取 连结 BFE OF 利用 证得 SAO 12 60 900A 120DE 18DE 8 13 240 234 利用 证得 ASCO FC BFBE 答案 见解析 4 32 1 F DOE CB A 例 3 如图 已知在 ABC 内 P Q 分别在 BC CA 上 并且 AP BQ60BAC 4 分别是 BAC ABC 的角平分线 求证 BAB 3 11 QPCB A 解析 延长 AB 至 D 使 连 DP BP 在等腰 BPD 中 可得 40 从而 40PAC ADP ACP ASA 故 D 又 故 40QBB QBP 从而 AP 答案 见解析 例 4 如图 在四边形 ABCD 中 BD 平分 ABC 求证 BCA D 180AC CDBA 解析 延长 BA 至 F 使 连 FDBC BDF BDC SAS 故 D D 又 故在等腰 BFD 中 ACFBDA 故有 180B 答案 见解析 4 11 例 5 点 在等边三角形 的 边上运动 MNABCBDC 120 60MDN 求证 21 E A B CDM NNM D CB A 解析 延长 至 使得NCEMB 是等腰三角形 且 BD 120DC 30BCD 是等边三角形 A 6A 9MBNE 在 和 中 B CEBE D 12 又 60N 60NDC 在 与 中 E 60M EM D CB 答案 见解析 21 E A B CDM NNM D CB A 例 6 如图在 ABC 中 P 为 AD 上任意一点 求证 ABC 12 ABP C21PDB A 5 11 解析 延长 AC 至 F 使 连 PDAB ABP AFP SAS 故 BP 由三角形性质知 CFAFCBA 答案 见解析 例 7 如图 四边形 ABCD 中 AB DC BE CE 分别平分 ABC BCD 且点 E 在 AD 上 求 证 BCAD DEC BA 解析 在 BC 上截取 连接 EFBFA BE 平分 ABC EB 又 ABE FBE SAS E ABFE AB CD 180AD BFC C 又 CE 平分 BCD E E DCE FCE AAS DF BCFABC 答案 见解析 6 11 例 8 如图 点 为正方形 的边 上任意一点 且与 外角的平分线交于MABCDMND ABC 点 与 有怎样的数量关系 N N CD EBMA N CD EBMA 解析 猜测 在 上截取 DMN G GB45 13 DN 答案 见解析 例 9 已知 如图 是正方形 求证 ABCDFADE BDFAE F E D CB A M F E D CB A 解析 延长 至 使得 连接 CBMDF AM AD F F B B AEAFAEBA MMDF 答案 见解析 例 10 如图所示 已知正方形 ABCD 中 M 为 CD 的中点 E 为 MC 上一点 且 求证 2BAED AEBC M EDCBA 7 11 解析 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种 1 通过添辅助线 构造 一条线段使其为求证中的两条线段之和 再证所构造的线段与求证 中那一条线段相等 2 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段 再证明截剩的部分 与线段中的另一段相等 我们用 1 法来证明 答案 延长 到 使 则由正方形性质知ABFCE AFBCE 下面我们利用全等三角形来证明 为此 连接 交边 于 由于对顶角A EG 所以 G Rt BGFS 从而 12 DM 于是 Rt tABDS 所以 是 的平分线MAE EAF H GF ME D CB A 例 11 五边形 ABCDE 中 求证 AD 平分ABE CD 180ACED CDE C EDB A 解析 延长 DE 至 F 使得 连接 AC EBC 180ABCD 180AFED ABEF ABC AEF E ADC ADF ACF 即 AD 平分 CDE 答案 见解析 8 11 A B D E F C 例 12 若 为 所在平面上一点 且 则点 叫做 的PABC 120APBPA PABC 费马点 1 若点 为锐角 的费马点 且 则 的值为60C 34C 2 如图 在锐角 外侧作等边 连结 求证 过 的费马点 且 B AC PBAP B CB A 解析 1 23 2 证明 在 上取点 使 B P120BC 连结 再在 上截取 连结 APEE 为正三角形 10C 6 P E 为正三角形 B AB 60 PAEC CAEB 12P P 120 为 的费马点 BC 过 的费马点 A 且 EPPBC 答案 见解析 E P A B C B 9 11 课后复习 作业 1 已知 AD 平分 BAC 求证 ACBD 2BC D CBA 解析 延长 AB 至点 E 使 连接 DEAC AD 平分 BAC D AC AED ACD SAS EC BD ABD AE CE 2B2ABC 答案 见解析 E CB AD 作业 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC 且 求证 CD AC 2ABC AB C DB A 10 11 解析 在 AB 上取中点 F 连接 FD 则 ADB 是等腰三角形 F 是底 AB 的中点 由三线合一知 DF AB 故 90AD ADF ADC SAS 即 CD AC90CF 答案 见解析 作业 3 如图所示 是边长为 的正三角形 是顶角为 的等腰三角形 以 为顶ABC 1BDC 120 D 点作一个 的 点 分别在 上 求 的周长 60 MDN AAMN N M D CB A 解析 如图所示 延长 到 使 ACEBM 在 与 中 因为 BDM DC90ECD MCE 所以 故 因为 所以 120 60N 6N 又因为 所以 E 在 与 中 N 0E E 所以 则 所以 的周长为 D MA 2 答案 见解析 E A B C D M N 11 11 作业 4 已知 AC 平分 BAD CE AB 求证 180BD AEDB E D CBA 解析 在 AE 上取 F 使 连接 CF EB CE AB 90CB EFE CEB CEF BC 180D 180FECA A AC 平分 BAD DCF A ADC AFC SAS DF AEABE 答案 见解析